Que peut-on dire de la fonction f(x) = x^{2} e^{2 - x} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme uv donc on peut appliquer :
(uv)' = u'v + uv'
Avec :
u(x) = x^{2} donc u'(x) = 2 x
et
v(x) = e^{2 - x} donc v'(x) = - e^{2 - x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = - x^{2} e^{2 - x} + 2 x e^{2 - x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - x^{2} e^{2 - x} + 2 x e^{2 - x} \right)'
f''(x) = \left(x^{2} - 4 x + 2\right) e^{2 - x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \left(x^{2} - 4 x + 2\right) e^{2 - x} \geq 0
On cherche le signe du polynôme du second degré x^{2} - 4 x + 2 .
\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4 \times 2 = 8 = (2\sqrt{2})^2
On a :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}
et
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}
Le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines, donc :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left]-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, +\infty\right[
La fonction x \mapsto \left(x^{2} - 4 x + 2\right) e^{2 - x} est positive sur \left]-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, +\infty\right[ et négative sur \left[2 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 2\right] .
Ainsi, f est convexe sur \left[-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, +\infty\right[ et concave sur \left[2 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 2\right] .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = e^{2 x} + e^{- 2 x} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme u+v donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = e^{- 2 x} donc u'(x) = - 2 e^{- 2 x}
et
v(x) = e^{2 x} donc v'(x) = 2 e^{2 x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = 2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} \right)'
f''(x) = 4 \left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 4 \left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right) \geq 0
e^{2x} est toujours positif, donc cette inégalité est vérifiée sur \mathbb{R} .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto 4 \left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right) est positive sur \mathbb{R} .
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f:x\mapsto \text{e}^{2x}-\text{e}^{x} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme u+v donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = \text{e}^{2x} donc u'(x) = 2\text{e}^{2x}
et
v(x) = -\text{e}^x donc v'(x) = -\text{e}^x
On commence donc par dériver f :
f'(x) = 2 \text{e}^{2x}-\text{e}^x
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = 4\text{e}^{2x}-\text{e}^x
f''(x)=\text{e}^x\left(4\text{e}^x-1\right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 4\text{e}^x-1\geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \text{e}^x\geq \dfrac{1}{4}
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x\geq \ln\left(\dfrac{1}{4}\right)
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x\geq -\ln\left(4\right)
Ainsi, f est convexe sur \left[-\ln(4), +\infty\right[ .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sqrt{x - 1} + \ln{\left(x - 1 \right)} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme donc on peut appliquer :
(u + v)' = u'+ v'
Avec :
u(x) = \sqrt{x - 1} donc u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}
et
v(x) = \ln{\left(x + 1 \right)} donc v'(x) = \frac{1}{x + 1}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} \right)'
f''(x) = - \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} \right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow - \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} \right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset
La fonction x \mapsto - (\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}) est négative sur \left]1, +\infty\right[ .
Ainsi, f est concave sur \left]1, +\infty\right[ .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = - \left(x + 2\right)^{2} + \left(x + 4\right)^{3} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = \left(x + 4\right)^{3} donc u'(x) = 3 \left(x + 4\right)^{2}
et
v(x) = - \left(x + 2\right)^{2} donc v'(x) = - 2 x - 4
On commence donc par dériver f :
f'(x) = - 2 x + 3 \left(x + 4\right)^{2} - 4
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - 2 x + 3 \left(x + 4\right)^{2} - 4 \right)'
f''(x) = 2 \left(3 x + 11\right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \left(3 x + 11\right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac{11}{3}
La fonction x \mapsto 2 \left(3 x + 11\right) est positive sur \left[-\dfrac{11}{3}; +\infty \right[ et négative sur \left]-\infty; -\dfrac{11}{3} \right] .
Finalement :
f est convexe sur \mathbb{R} et concave sur \emptyset .
Ainsi, f est convexe sur \left[-\dfrac{11}{3}; +\infty \right[ .