Quelles sont les solutions de l'équation suivante ?

3x^6+21x^3-24=0

S=\left\{ \varnothing \right\}

S=\left\{ -2;1 \right\}

S=\left\{ 1;-\sqrt[3]{6} \right\}

S=\left\{ -2;-1;1 ;2\right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante ?

-2x^4+3x^2-1=0

S=\left\{ \varnothing \right\}

S=\left\{ \dfrac{1}{2};1 \right\}

S=\left\{ -1;-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2};1 \right\}

S=\left\{ -1;-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};1 \right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante ?

3x^4+5x^2+6=0

S=\left\{ \varnothing \right\}

S=\left\{ -\sqrt{\dfrac{5}{6}};\sqrt{\dfrac{5}{6}} \right\}

S=\left\{ -\sqrt{2};-\dfrac{\sqrt{5}}{2};\dfrac{\sqrt{5}}{2};\sqrt{2} \right\}

S=\left\{ -\dfrac{1}{\sqrt{2}};-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante ?

x^4-9x^2+20=0

S=\left\{ \varnothing \right\}

S=\left\{ \dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\}

S=\left\{ -\sqrt{5};-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2};\sqrt{5} \right\}

S=\left\{ -\sqrt{5};-2;2;\sqrt{5} \right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante ?

2x^4-x^2-15=0

S=\left\{ \varnothing \right\}

S=\left\{ \sqrt{3};-\sqrt{3} \right\}

S=\left\{\sqrt{ \dfrac{5}{2}};-\sqrt{ \dfrac{5}{2}};\sqrt{3};-\sqrt{3} \right\}

S=\left\{\sqrt{\dfrac{5}{2}};-\sqrt{\dfrac{5}{2}} \right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

(E) : \dfrac{1}{x^4}-\dfrac{13}{x^2}+36=0

S=\left\{ -\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right\}

S=\left\{-3;-2;2;3 \right\}

S=\left\{ -\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{4}\right\}

S= \varnothing

En posant X=\dfrac{1}{x^2}, on peut se ramener à une équation du second degré :

(E') : X^2-13X+36=0

(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.

Etape 1

Résolution de (E')

\Delta=b^2-4ac=\left(-13\right)^2-4\times1\times36=169-144=25

\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :

X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{13-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{13-5}{2}=\dfrac{8}{2}=4
X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{13+\sqrt{25}}{2}=\dfrac{13+5}{2}=\dfrac{18}{2}=9

L'équation (E') admet donc deux solutions réelles 4 et 9.

Etape 2

Déduction des solutions de (E)

Comme X=\dfrac{1}{x^2}, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :

\dfrac{1}{x^2}=4\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\text{ ou }-\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{x^2}=9\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\text{ ou }-\dfrac{1}{3}

L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :

S=\left\{ -\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right\}.

Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

(E) : 4x^4-12x^2+9=0

S=\left\{ -\dfrac{\sqrt{6}}{2};\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right\}

S=\left\{ -\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\}

S=\left\{ \sqrt{\dfrac{3}{2}} \right\}

S= \varnothing

En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :

(E') : 4X^2-12X+9=0

(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.

Etape 1

Résolution de (E')

\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times4\times9=144-144=0

\Delta=0 donc (E') admet une solution :

X_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{2\times4}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}

L'équation (E') admet donc une solution réelle \dfrac{3}{2}.

Etape 2

Déduction des solutions de (E)

Comme X=x^2, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :

x^2=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \text{ ou }x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}

L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :

S=\left\{ -\dfrac{\sqrt{6}}{2};\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right\}