Une fonction trinôme est définie sur \mathbb{R} et a une expression de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer ses variations sur \mathbb{R}.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.
Déterminer le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.
Déterminer le signe de a
On donne la valeur de a, coefficient de x2 dans le trinôme. On détermine son signe.
La fonction f est une fonction trinôme du second degré.
Pour tout réel x, f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.
On a a=-2, donc a<0.
Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a
- Si a>0 alors la fonction est strictement décroissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement croissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[
- Si a<0 alors la fonction est strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[
Ici, a<0, la fonction est donc strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[.
Calculer \dfrac{-b}{2a} et f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)
On calcule alors les coordonnées du sommet :
- Son abscisse vaut \dfrac{-b}{2a}
- Son ordonnée vaut f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)
On calcule les coordonnées du sommet.
- \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-4}{-4}=1
- f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)=f\left(1\right)=-2\times1^2+4\times1-1=-2+4-1=1
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 ; 1).
Dresser le tableau de variations de f
On peut alors dresser le tableau de variations de f.
On obtient le tableau de variations de f :
