Un trinôme du second degré est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer son signe selon les valeurs de x.
Déterminer le signe du trinôme : P\left(x\right)=x^2-3x+2
Identifier a, b et c
Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c où :
- a est le coefficient de x2
- b est le coefficient de x
- c est le terme constant
Pour le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2, on a :
- a=1
- b=-3
- c=2
Calculer le discriminant \Delta
Le discriminant est : \Delta = b^2-4ac.
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^{2} - 4ac
\Delta = \left(-3\right)^{2} - 4\times1\times2
\Delta = 9-8
\Delta = 1
Enoncer la conclusion selon le signe de \Delta
\Delta>0
Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur.
\Delta=0
Le trinôme est du signe de a et s'annule en x_0=\dfrac{-b}{2a}
\Delta<0
Le trinôme est toujours du signe de a (il ne s'annule jamais).
Ici, \Delta >0 .
Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.
Calculer les racines de P si nécessaire
\Delta>0
Le trinôme admet deux racines distinctes x_{1} et x_2 avec :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\Delta=0
Le trinôme admet une racine double x_0=\dfrac{-b}{2a}.
\Delta<0
Le trinôme n'admet pas de racine, on saute donc cette étape.
\Delta>0, le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 admet donc deux racines distinctes qui sont :
\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3-1}{2} \\ &= 1\end{aligned}
\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3+1}{2} \\ &= 2\end{aligned}
Dresser le tableau de signes
On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme.
On obtient le tableau de signes du trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 :
