Factoriser x^n-1 par x-1 - 1ère - Problème Mathématiques

Soit n=2.

Quelle est la forme de f_2 factorisée par x-1 ?

f_2(x)=(x−1)(x+1)

f_2(x)=(x−1)x

f_2(x)=(x−1)^2

f_2(x)=(x+1)^2

Soit n=3.

Quelle est la forme de f_3 factorisée par x-1 ?

f_3(x)=(x−1)(x^2+x+1)

f_3(x)=(x−1)(x^2+x)

f_3(x)=(x−1)(x^2+2x+3)

f_3(x)=(x−1)(x^2-x−1)

Soit n=4.

Quelle est la forme de f_4 factorisée par x-1 ?

f_3(x)=(x−1)(x^3+x^2+x+1)

f_3(x)=(x−1)(x^2+x+1)

f_3(x)=(x−1)(x^3+2x^2+2x+1)

f_3(x)=(x−1)(x^3-x^2-x−1)

D'après les résultats précédents, quelle conjecture peut-on faire sur la forme factorisée de f_n par x-1 ?

\forall n \in \mathbb{N}, x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1)

\forall n \in \mathbb{N}, x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}-x^{n-2}-...-x^2-x-1)

\forall n \in \mathbb{N}, x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+1)

\forall n \in \mathbb{N}, x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}-1)

Soit x \in \mathbb{R}\backslash{1}.

Soit (u_n) la suite telle que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=x^n

Quelle est la somme des n premiers termes de la suite (u_n) ?

\sum_{k=0}^{n−1}x^k = \frac{1-x^{n}}{1-x}

\sum_{k=0}^{n−1}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}

\sum_{k=0}^{n−1}x^k = \frac{1-x^{n−1}}{1-x}

\sum_{k=0}^{n−1}x^k = \frac{1-x^{n}}{x−1}