Sommaire
1Développer l'expression comportant les inconnues 2Regrouper les termes par puissance de x 3Rappeler l'écriture du polynôme 4Poser le système 5Résoudre le système 6ConclureOn a un polynôme P de degré 3 de coefficients connus.
Si on sait qu'elle existe, on peut déterminer les coefficients a, b et c de la forme factorisée de P tels que P\left(x\right) =\left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Soit le polynôme, défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5.
Déterminer les réels a, b et c tels que :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Développer l'expression comportant les inconnues
On a, \forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right).
On développe l'expression factorisée de P.
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right).
On développe l'expression factorisée de P :
P\left(x\right) = ax^3+bx^2+cx -ax^2-bx-c
Regrouper les termes par puissance de x
On regroupe les termes par puissance de x, puis on factorise par chaque puissance de x. On obtient une expression de la forme :
P\left(x\right) =\left(...\right) x^3+\left(...\right) x^2+\left(...\right)x+ \left(...\right)
On regroupe les termes par puissance de x :
P\left(x\right) = ax^3+bx^2-ax^2-bx+cx -c
P\left(x\right) = \left(a\right)x^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x+ \left(-c\right)
Rappeler l'écriture du polynôme
On rappelle la forme développée du polynôme P dont les coefficients sont connus.
On rappelle que, \forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5
Poser le système
On a deux formes de polynôme différentes. On identifie les coefficients des termes de même degré qui doivent être égaux.
On obtient alors un système à quatre équations (une pour chaque coefficient).
On a, pour tout réel x,
- P\left(x\right)=ax^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x -c
- P\left(x\right)= 4x^3-2x^2 -7x +5
On identifie terme à terme les coefficients de même degré qui doivent être égaux.
On obtient le système suivant :
\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}
Résoudre le système
On résout le système et on détermine les valeurs de a, b et c..
On résout :
\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = -2+a \cr \cr c = -5\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = 2 \cr \cr c = -5\end{cases}
Conclure
On donne l'écriture de la forme factorisée de P en remplaçant a, b et c par les valeurs trouvées.
P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right)
On en déduit l'écriture de la forme factorisée de P :
Pour tout réel x, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)
Il est facile de vérifier le résultat obtenu en développant la forme factorisée de P et en comparant avec la forme développée.
On a trouvé :
P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)
On développe. Pour tout réel x :
P\left(x\right) = 4x^3+2x^2-5x-4x^2-2x+5
P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5
C'est bien la forme développée de P\left(x\right), le résultat trouvé est donc correct.