Une inéquation du second degré est une inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type ax^2+bx+c\gt0, avec a\neq0.
Le symbole \gt peut être remplacé par \geqslant, \lt ou \leqslant.
Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :
3x^2+x-1\lt x^2-4x+2
Passer tous les termes du même côté de l'inégalité
Si nécessaire, regrouper tous les termes dans le même membre de l'inéquation pour obtenir une inéquation du type ax^2+bx+c\gt0, avec a\neq0. (le symbole \gt pouvant également être \geqslant, \lt ou \leqslant )
Pour tout réel x :
3x^2+x-1\lt x^2-4x+2
\Leftrightarrow3x^2 +x-1-x^2+4x-2<0
\Leftrightarrow2x^2+5x-3<0
Déterminer le signe du trinôme
Il s'agit donc maintenant de déterminer le signe du trinôme P\left(x\right)=ax^2+bx+c obtenu précédemment. Pour cela, on calcule le discriminant \Delta, on recherche les racines s'il en existe, et on détermine le signe du trinôme :
- Si \Delta >0 le trinôme admet deux racines distinctes x_1 et x_2
Il est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur. Il s'annule en x_1 et x_2. - Si \Delta =0 le trinôme admet une racine double x_0. Il est toujours du signe de a et s'annule en x_0.
- Si \Delta <0 le trinôme n'a pas de racine réelle. Il est toujours du signe de a.
On résume ces résultats dans un tableau de signes.
On étudie le signe du trinôme P\left(x\right)=2x^2+5x-3 sur \mathbb{R}.
On calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=25-4\times2\times\left(-3\right)=25+24=49=7^2
\Delta>0, donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.
On calcule les racines :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{4}=\dfrac{-12}{4}=-3
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
On obtient le tableau de signes du trinôme :
Résoudre l'inéquation
On détermine dans le tableau de signes, le ou les intervalles pour lesquels l'inégalité est vérifiée.
On conclut en présentant les solutions de l'inéquation.
Ici, l'inéquation est vérifiée lorsque 2x^2+5x-3<0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :
S=\left] -3; \dfrac{1}{2}\right[
Lorsqu'on détermine les intervalles solutions de l'inéquation, on vérifie si l'inégalité est large ou stricte afin de savoir si les intervalles sont ouverts ou fermés.