Les racines réelles d'un trinôme P défini pour tout réel x par P\left(x\right)=ax^2+bx+c sont les réels x tels que P\left(x\right)=0
Un trinôme admet 0, 1 ou 2 racines que l'on sait déterminer.
Déterminer les racines réelles du trinôme : P\left(x\right) = 2x^2 -5x -3
Identifier a, b et c
Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c
a est le coefficient de x2, b est le coefficient de x et c est le terme constant.
Pour le trinôme P\left(x\right)=2x^2-5x-3, on a :
- a = 2,
- b = -5
- c = -3
Calculer le discriminant \Delta
On a \Delta = b^2-4ac.
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^{2} - 4ac
\Delta= \left(-5\right)^2 -4\times 2 \times \left(-3\right)
\Delta= 25+24
\Delta=49
Conclure selon la valeur de \Delta
\Delta>0
Le trinôme admet deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}
- x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
- x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
\Delta = 0
Le trinôme admet une racine unique, notée x_{0}, et appelée "racine double".
x_{0} = \dfrac{-b}{2a}
\Delta < 0
Le trinôme n'a pas de racine réelle.
\Delta >0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :
\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5+7}{4} \\ &= 3\end{aligned}
\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5-7}{4} \\ &= \dfrac{-1}{2}\end{aligned}