On considère dans cet exercice la suite définie sur \mathbb{N} par :
u_n = \int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x} \,\mathrm{d}x
Quelle est la valeur de u_0 ?
Pour calculer u_0, on commence par remplacer n par 0 dans l'expression de la suite :
u_0=\int_0^1 \dfrac{x^0}{1+x}\,\mathrm{d}x = \int^1_0 \dfrac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x
Il faut ensuite trouver une primitive sur [0;1] de x\mapsto \dfrac{1}{1+x}.
Or, pour tout réel x\in [0;1], \dfrac{1}{1+x}=\dfrac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)=1+x.
Comme u(x)>0 sur [0;1], une primitive de \dfrac{u'}{u} sur [0;1] est \ln(u).
Donc une primitive de x\mapsto \dfrac{1}{x+1} sur [0;1] est x\mapsto \ln(1+x).
Finalement :
u_0=\int_0^1 \dfrac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x = [\ln(x+1)]_0^1 = \ln(1+1)-\ln(1+0)=\ln(2)
Donc u_0 = \ln(2) .
Soit un entier naturel n.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une forme simplifiée de u_{n+1}+u_n ?
Soit un entier naturel n.
u_n étant défini par une intégrale, il peut être intéressant de calculer directement la valeur de u_{n+1}+u_n afin de simplifier :
u_{n+1}+u_n = \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \,\mathrm{d}x + \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} + \dfrac{x^{n}}{1+x}\,\mathrm{d}x par linéarité de l'intégrale
On en déduit :
u_{n+1}+u_n = \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \dfrac{(1+x)x^n}{1+x} \,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n \,\mathrm{d}x
Une primitive de x\mapsto x^n sur [0;1] est x\mapsto\dfrac{1}{n+1} x^{n+1} .
Donc finalement :
u_{n+1} +u_n= \int_0^1 x^n \,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} \right]^1_0 = \dfrac{1}{n+1}
Une forme simplifiée de u_{n+1} + u_n est :
u_{n+1} + u_n=\dfrac{1}{n+1}
Par déduction, quelle est la valeur de u_1 ?
D'après la question précédente :
Pour tout entier naturel n, u_{n+1}+u_n=\dfrac{1}{n+1} .
En posant n=0 on obtient :
u_1+u_0=1 \Leftrightarrow u_1 =1-\ln(2)
Donc u_1 =1-\ln(2).
Quelle est la nature de la suite u ?
Pour déterminer la nature de la suite, on commence par étudier son sens de variation.
Pour déterminer le sens de variation de la suite u, on peut essayer de comparer u_n et u_{n+1} en les construisant à partir des propriétés connues des intégrales.
On sait que, pour x \in [0;1] :
0 \leq x^{n+1} \leq x^n
De plus, comme x+1 >0 , on peut diviser par 1+x sans changer le sens de l'inégalité :
0 \leq \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \leq \dfrac{x^n}{1+x}
En utilisant la croissance de l'intégration avec 0<1 , on obtient finalement :
\int_0^1 0 \,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \,\mathrm{d}x \leq \int^1_0 \dfrac{x^{n}}{1+x} \,\mathrm{d}x \Leftrightarrow 0 \leq u_{n+1} \leq u_n
Ainsi, la suite (u_n) est décroissante.
De plus, d'après le calcul précédent, u_n\geq 0 pour tout entier naturel n.
Une suite décroissante et minorée converge.
La suite u converge donc vers une limite finie \ell.
Quelle est la valeur de \ell, limite de la suite u ?
D'après la question 2, u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n+1} pour tout entier naturel n.
Comme la suite u converge vers une limite finie, on peut passer cette expression à la limite :
\lim \limits_{n\to + \infty } u_{n+1} +u_n =\lim \limits_{n\to + \infty } \dfrac{1}{n+1}
\Leftrightarrow 2\ell=0
\Leftrightarrow \ell=0
La suite u converge donc vers 0.