Démontrer l'intégration par partie Exercice

Soient u : [a;b] \mapsto \mathbb{R} et v : [a;b] \mapsto \mathbb{R} deux fonctions dérivables, de dérivées continues.

On souhaite montrer que :
\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx

Que vaut la dérivée de uv ?

(uv)' = u'v + uv'

(uv)' = u' + v'

(uv)' = \dfrac{u'}{v'}

(uv)' = u'v'

Que vaut uv' en fonction de (uv)' et u'v ?

uv' = (uv)' - u'v

uv' = (uv)' + u'v

u'v = \dfrac{u}{v'}

u'v = uv' + uv

Que vaut \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \,dx ?

\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} − \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx

\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx

\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} − \int_{a}^{b} u(x) v(x) \, dx

\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} − \int_{a}^{b} u'(x) v'(x) \, dx