Soient u : [a;b] \mapsto \mathbb{R} et v : [a;b] \mapsto \mathbb{R} deux fonctions dérivables, de dérivées continues.
On souhaite montrer que :
\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx
Que vaut la dérivée de uv ?
Soient u et v deux fonctions réelles d'une variable réelle, dérivables en un point x.
Alors leur produit uv est aussi dérivable en x et :
(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Que vaut uv' en fonction de (uv)' et u'v ?
D'après la règle du produit, (uv)' = u'v + uv' .
En faisant passer le terme u'v de l'autre côté, on a :
uv' = (uv)' - u'v
Que vaut \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \,dx ?
On intègre :
uv' = (uv)' - u'v
Entre a et b :
\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = \int_{a}^{b} ( (uv)' - u'v) \, dx
D'après la linéarité de l'intégrale :
\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = \int_{a}^{b} (uv)' \, dx - \int_{a}^{b} u'v \, dx
Or :
\int_{a}^{b} (uv)' \, dx = \left[ u(x)v(x) \right]_{a}^{b}
On en déduit :
\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx