Si f'\left(x\right)=ax+b
Si f'\left(x\right)=ax+b, il suffit de résoudre l'inéquation f'\left(x\right) \geq 0 pour pouvoir déterminer le signe de f'.
On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2-x.
Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Résoudre f'\left(x\right)>0
On a f'\left(x\right)=ax+b.
On résout donc ax +b \gt 0.
On fait attention au signe de a lors de la résolution de l'inéquation. Si a\lt0, le sens de l'inéquation change.
Pour tout réel x :
-2x+3\gt0
\Leftrightarrow-2x\gt-3
\Leftrightarrow x \lt\dfrac{-3}{-2}
\Leftrightarrow x \lt\dfrac{3}{2}
On a \forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right)= 2-x.
On reconnaît une fonction affine.
Pour tout réel x :
f'\left(x\right) \geq 0
\Leftrightarrow2-x \geq 0
\Leftrightarrow x \leq 2
Conclure
On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.
On obtient le signe de f'\left(x\right) :
Si f'\left(x\right)=ax^2+bx+c
Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \Delta et les éventuelles racines de f'\left(x\right) afin de déterminer son signe.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1.
Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Calculer le discriminant \Delta
On calcule le discriminant \Delta du trinôme.
On reconnaît un trinôme du second degré.
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac
\Delta = 3^2 -4\left(-4\right)\times 1 =9+16=25
Etudier le signe du trinôme
En fonction du signe de \Delta, plusieurs cas sont possibles :
- Si \Delta \lt 0 alors le trinôme est toujours du signe de a.
- Si \Delta = 0 alors le trinôme est toujours du signe de a mais est nul au niveau de la racine.
- Si \Delta \gt 0 alors le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. Dans ce cas, on calcule également les racines.
Ici, \Delta \gt 0, donc le trinôme est du signe de a sauf entre les racines.
On calcule les racines :
- x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-5}{-8}= 1
- x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+5}{-8}= -\dfrac{1}{4}
Conclure
On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.
On obtient le signe de f'\left(x\right) :
Si f'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^n
Si la dérivée est une fonction u définie sur un intervalle I élevée à une puissance n, son signe dépend de la parité de n.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3.
Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Résoudre f'\left(x\right)>0
- Si n est pair, alors, \forall x \in I, \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0
- Si n est impair, l'inéquation \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0 est équivalente à u\left(x\right)\geq 0. On résout donc l'équation u\left(x\right)\geq 0.
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3. 3 est impair.
On résout donc, pour tout réel x :
\left(1-3x\right)^3 \geq 0
\Leftrightarrow 1-3x \geq 0
\Leftrightarrow 3x \leq 1
\Leftrightarrow x\leq \dfrac{1}{3}
Conclure
On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.
On obtient le signe de f'\left(x\right) :
Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple
Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple, il faut factoriser f'\left(x\right) afin de se ramener à un produit ou un quotient de facteurs dont on est capable de déterminer le signe.
On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right).
Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Factoriser f'\left(x\right)
On repère un facteur commun afin de factoriser l'expression de f'\left(x\right), et de l'exprimer en fonction d'expressions dont on sait déterminer le signe :
- Une fonction affine
- Un trinôme du second degré
- Une fonction élevée à une puissance entière
- Une expression dont on a déjà déterminée le signe dans des questions précédentes
On factorise l'expression avant d'étudier le signe. x est le facteur commun ici.
On en déduit que, pour tout réel x :
f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right)
f'\left(x\right) = x\left[ 1-\left(2-x^2\right)\right]
f'\left(x\right) = x\left( x^2-1\right)
Etudier le signe de chaque facteur
On étudie le signe des différents facteurs un à un.
On étudie le signe de chacun des facteurs :
- x \geq 0 sur \mathbb{R}^+
- x^2-1 \geq0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1\; ou\; x \leq -1
Dresser le tableau de signes de f'\left(x\right)
On dresse un tableau de signes de chacun des facteurs de f'\left(x\right) pour en déduire le signe de f'\left(x\right) .
On en déduit le tableau de signes de f'\left(x\right) :
