La dérivation en un point
Le nombre dérivé d'une fonction en un réel se détermine par le calcul (à partir d'un taux de variation « limite ») ou graphiquement (à l'aide de la tangente à la courbe en ce point).
Le nombre dérivé d'une fonction en un point et le taux de variation
Lorsqu'il existe, le nombre dérivé d'une fonction en un point correspond à un taux de variation « limite ».
Taux de variation d'une fonction entre deux nombres
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a et b étant deux nombres réels distincts de I, on appelle taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f entre a et b le nombre réel :
\tau_{f,a,b}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
On considère la fonction carrée notée f. Le taux de variation de f entre 1 et 3 est :
\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}
\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{3^2-1^2}{3-1}
\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{9-1}{3-1}
\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{8}{2}
\tau_{f,1{,}3}=4
En posant b = a + h, le taux de variation devient :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Fonction dérivable en un point et nombre dérivé associé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si il existe un réel \ell tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell
On a alors f'(a)=\ell.
On a également f dérivable en a si et seulement s'il existe un réel \ell tel que :
\lim\limits_{ x \to a } \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell
f'(a) s'appelle le nombre dérivé de f en a.
Il existe des fonctions non dérivables sur leur ensemble de définition.
Soit f la fonction racine carrée et soit h un réel strictement positif. Alors le taux de variation de f entre 0 et 0+h est :
\tau_{f,0,h}=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}
Or, lorsque h se rapproche de 0, \sqrt{h} s'en rapproche également et \tau_{f,0,h} tend vers +\infty.
\tau_{f,0,h} ne se rapproche pas d'un nombre réel, donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Considérons une fonction affine f d'expression f(x)=mx+p. Alors, quel que soit le réel a, la fonction f est dérivable en a et f'(a)=m.
Soit un réel a quelconque et soit un réel h non nul. Alors, le taux de variation de f entre a et a+h est :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=\dfrac{mh}{h}=m
La fonction f est donc dérivable en a et f'(a)=m.
Le nombre dérivé en un point et la tangente à la courbe représentative de la fonction
Lorsqu'il existe, le nombre dérivé de f au point d'abscisse a, noté f'(a), est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a
Soit f une fonction et C_f sa courbe représentative. On appelle A (resp. B ) le point d'abscisse a (resp. b) de C_f. Alors :
\tau_{f,a,b}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
Le taux de variation est le coefficient directeur de la sécante (AB) qui coupe la courbe représentative de f en A et en B.
Tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a\in I. On considère le point A de coordonnées (a;f(a)) et un autre point M de la courbe de f.
Lorsque M se rapproche de A, les sécantes (AM) se rapprochent d'une droite « limite » dont le coefficient directeur est f'(a) (limite des coefficients directeurs des sécantes).
Cette droite « limite » qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f'(a) est appelée la tangente à la courbe représentative de f au point A.
Soit f la fonction carrée et A le point d'abscisse 1 de la courbe représentative de f.
La droite à la position « limite » de toutes les sécantes (AM) lorsque M se rapproche de A a pour coefficient directeur 2.
On a donc :
f'(1)=2
On peut écrire un programme permettant d'écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
Voici un exemple de programme écrit en Python, pour la fonction carrée.
En prenant comme valeurs a=1, h=0{,}5 et p=0{,}01, on obtient le résultat suivant :
Les coefficients directeurs semblent de plus en plus proches de la valeur 2.
Il existe des fonctions non dérivables sur leur ensemble de définition.
On note f la fonction racine carrée. Soit h un réel strictement positif et M le point de la courbe de f d'abscisse h.
Les sécantes se rapprochent de la droite d'équation x=0 lorsque le point M se rapproche de l'origine du repère. La droite « limite » est donc l'axe des ordonnées et n'a pas de coefficient directeur.
Donc f n'est pas dérivable en 0.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. Soit a\in I. Une équation de la tangente T_a à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
g(x)=-3x^2+2x+1
On prend a=-3 et soit un réel h non nul.
Le taux de variation de g entre a et a+h est :
\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{g(-3+h)-g(-3)}{h}
Or :
g(-3+h)=-3\times (-3+h)^2+2\times (-3+h)+1
g(-3+h)=-3(9-6h+h^2)-6+2h+1
g(-3+h)=-3h^2+20h-32
De plus :
g(-3)=-32.
On en déduit :
\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{-3h^2+20h-32-(-32)}{h}
\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{-3h^2+20h}{h}
\tau_{g,-3,-3+h}=-3h+20
Ainsi lorsque h tend vers 0, on obtient 20.
De ce fait, on a :
g'(-3)=20
Une équation de la tangente, T_{-3}, à la courbe de g au point d'abscisse -3 est donc :
y=f'(-3)(x-(-3))+f(-3)
y=20(x-(-3))-32
y=20(x+3)-32
La droite T_a passe par le point A\left( a,f(a)\right) et a pour coefficient directeur f'(a).
Ainsi T_a admet une équation du type :
y=f'(a)x+p
Comme A\in T_a, alors on a :
y_A=f'(a)x_A+p
Soit :
f(a)=f'(a)\times a+p
Ainsi, on a :
p=f(a)-af'(a)
Donc une équation de T_a est :
y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Le coefficient directeur d'une droite est également appelé "pente" de la droite. Ainsi, f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
La dérivée sur un intervalle
Une nouvelle fonction apparaît : la fonction dérivée. Certaines fonctions de référence et leurs dérivées sont à connaître. Il en est de même pour la dérivée des fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles.
La dérivabilité sur un intervalle
Si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle I, elle est dérivable sur I.
Fonction dérivable sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que la fonction f est dérivable sur l'intervalle I lorsque f est dérivable en tout nombre réel de l'intervalle I.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(1+x)^2
Soit a un réel quelconque et h un nombre réel non nul.
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(1+a+h)^2-(1+a)^2}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{1+2a+2h+2ah+a^2+h^2-\left( 1+2a+a^2\right)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2h+2ah+h^2}{h}
\tau_{f,a,a+h}=2+2a+h
Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend vers 2+2a.
Donc :
\forall a \in \mathbb{R}, f'(a)=2+2a
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2+2x
Fonction dérivée
La fonction, qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x, est appelée la fonction dérivée de f. Elle se note f'.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(1+x)^2
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}. La fonction f' est la fonction dérivée de f. Elle est définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2+2x
La notation f' est la notation dite « de Lagrange ».
Il existe d'autres notations :
- celle de Leibniz : \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} ou \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} avec y=f(x) ;
- celle de Newton : \dot{f} ou \dot{y} avec y=f(x).
Les notations de Leibniz et de Newton sont plus utilisées en physique.
Les fonctions dérivées des fonctions de référence
Les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions de référence sont à connaître.
Voici des expressions des fonctions dérivées de quelques fonctions de référence.
| Ensemble de définition de f | f(x) | f'(x) | Ensemble de définition de f' |
| \mathbb{R} | k (constante) | 0 | \mathbb{R} |
| \mathbb{R} | mx+p | m | \mathbb{R} |
| [0;+\infty[ | \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | ]0;+\infty[ |
| \mathbb{R} | x^2 | 2x | \mathbb{R} |
| \mathbb{R} | x^3 | 3x^2 | \mathbb{R} |
| \mathbb{R}^* | \dfrac{1}{x} | \dfrac{-1}{x^2} | \mathbb{R}^{\star} |
Notons f la fonction carrée.
Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.
Le taux de variation de f entre a et a+h est :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}
\tau_{f,a,a+h}=2a+h
Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend donc vers 2a.
Ainsi, f est bien dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2x
Notons g la fonction inverse.
Soit a un réel non nul et soit h un réel non nul, tel que a+h\neq 0.
Le taux de variation de g entre a et a+h est :
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a-a-h}{a(a+h)}}{h}
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h}
\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{-1}{a(a+h)}
Lorsque h tend vers 0, \tau_{g,a,a+h} tend donc vers \dfrac{-1}{a^2}.
Ainsi, g est bien dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, et :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=\dfrac{-1}{x^2}
L'ensemble de définition d'une fonction n'est pas nécessairement égal à son ensemble de dérivabilité.
Les fonctions dérivées et les opérations
Les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions obtenues par opérations simples sur des fonctions de référence sont à connaître.
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}. Alors f=u+v est dérivable sur I et :
f'=u'+v'
Soit f la fonction définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=x^2+\sqrt{x}
Soit f=u+v, avec :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x}
La fonction f est la somme de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[, donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'+v'.
Or, on a :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Donc, on obtient :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}. Alors f=u\times v est dérivable sur I et :
f'=u'v+uv'
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[ ; f(x)=x^2\sqrt{x}
Soit f=u\times v, avec :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x}
La fonction f est un produit de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[, donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'v+uv'.
Or, on a :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
- \forall x \in \left] 0;+\infty \right[, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
On obtient :
\forall x \in \left] 0;+\infty \right[, f'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Soit a un réel quelconque de l'intervalle I et h un réel non nul tel que a+h\in I. Alors :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)+u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
Comme u et v sont dérivables en a, on a :
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)
En admettant que lorsque h tend vers 0, v(a+h) tend vers v(a), on obtient :
\lim\limits_{h\to 0}\tau_{f,a,a+h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)
Ainsi f est dérivable en a et on a :
f'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)
On obtient bien :
f'=u'v+uv'
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}. Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{1}{v} est dérivable sur I et :
f'=\dfrac{-v'}{v^2}
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=\dfrac{1}{x^2}
On a f=\dfrac{1}{v}, avec :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=x^2
La fonction v est dérivable sur ]0;+∞[ et ne s'annule pas sur ]0;+∞[. Donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et on a :
f'=\dfrac{-v'}{v^2}
Or, on a :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=2x
Donc, on obtient :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=\dfrac{-2x}{\left(x^2\right)^2}=\dfrac{-2x}{x^4}=\dfrac{-2}{x^3}
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}. Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{u}{v} est dérivable sur I et :
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}
Soit f=\dfrac{u}{v}, avec :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2+1
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=x
De plus :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)\neq 0
La fonction f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ]0;+\infty[ telles que la deuxième fonction ne s'annule pas sur ]0;+\infty[, donc f est dérivable sur ]0;+\infty[ et on a :
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Or, on a :
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
- \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=1
Donc, on obtient :
\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=\dfrac{2x\times x-\left(x^2+1\right)\times 1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}
Soit n\in\mathbb{Z}. On note f la fonction x\mapsto x^n.
- Si n\geq 0, alors f est dérivable sur \mathbb{R}.
- Si n<0, alors f est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.
Dans chacun des cas, pour tout réel x pour lequel f est dérivable, on a :
f'(x)=nx^{n-1}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=\dfrac{1}{x^3}
On a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^{-3}
Donc,
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^n avec n=-3.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^* de dérivée f' définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=nx^{n-1}
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=-3x^{-4}
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=\dfrac{-3}{x^4}
En prenant n=-1, on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}
La fonction f est donc dérivable sur \ \forall x \in \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=(-1)\times x^{-1-1}=-1\times x^{-2}=\dfrac{-1}{x^2}
On retrouve le résultat de la partie précédente.
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.
Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Soit f la fonction définie sur \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[ par :
\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x)=\sqrt{3x-2}
On a :
\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x)=g(ax+b)
Soit g la fonction racine carrée, a=3 et b=-2.
Pour tout x\in\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, 3a-2\in]0;+\infty[ et g est dérivable sur ]0;+\infty[.
De plus, pour tout x>0, on a :
g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Donc f est dérivable sur \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[ et on obtient :
\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x-2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}
On dit que la fonction f est la composée de la fonction x\mapsto ax+b par (ou « suivie de ») la fonction g.
La dérivée de la fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est un exemple d'une fonction définie sur \mathbb{R}, mais qui n'est pas dérivable sur \mathbb{R}.
Fonction valeur absolue
On appelle fonction valeur absolue la fonction x\mapsto |x| définie par :
|x|=\begin{cases}x\text{ si }x\geq 0\\-x\text{ sinon}\end{cases}
La valeur absolue est définie sur \mathbb{R}. Elle est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, mais pas en 0.
De plus, on a :
- \forall x \in \left]-\infty;0\right[, f'(x)=-1
- \forall x \in \left]0;+\infty\right[, f'(x)=1
On note f la fonction valeur absolue. On montre algébriquement que la fonction f n'est pas dérivable en 0, car le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet pas de limite lorsque h tend vers 0.
On prend :
- a=0
- h>0
On a :
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{h}{h}=1
Donc :
\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=1.
On prend :
- a=0
- h<0
On a :
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1
Donc :
\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=-1
Ainsi :
\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\neq \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet donc pas de limite lorsque h tend vers 0 puisque les limites obtenues avec h>0 et h<0 ne sont pas les mêmes.
La fonction valeur absolue n'est effectivement pas dérivable en 0.
On retrouve le résultat graphiquement.
Pour a>0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur 1.
Alors que pour a<0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur -1.
Au point d'abscisse 0 (c'est-à-dire l'origine du repère), la courbe représentative de f ne peut donc pas admettre de tangente.