Dans les cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \left[ -\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[ , f(x)= \left(\sqrt{2x+3}-3x²\right)\times (x-5)²
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \left[ -\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[, u(x) = \sqrt{2x+3}-3x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=(x-5)^2
On a :
- u est dérivable sur \left] \dfrac{-3}{2} ; +\infty\right[ et \forall x \in \left] -\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[, u'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}-6x.
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=2x-10.
D'où f est dérivable sur \left] -\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[ et :
\forall x \in\left] \dfrac{-3}{2} ; +\infty\right[, f'(x) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}-6x \right)(x-5)^2+(2x-10)\left(\sqrt{2x+3}-3x^2\right)
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace -2 \rbrace : f(x) = (2x^3 +3x^2-4x)\times(\dfrac{1}{2x+4})
Soient u, v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) =2x^3+3x^2-4x
- \forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace-2\rbrace, v(x) = \dfrac{1}{2x+4}
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=6x^2+6x-4.
- v est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\lbrace-2\rbrace et \forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace-2\rbrace, v'(x) = \dfrac{-2}{(2x+4)^2} (on peut voir v(x) de deux manières pour obtenir sa dérivée : un quotient de fonctions dérivables ou la composée d'une fonction affine).
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\lbrace-2\rbrace et :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace-2\rbrace, f'(x) = (6x^2+6x-4)(\dfrac{1}{2x+4})+(2x^3+3x^2-4x)(\dfrac{-2}{(2x+4)^2})
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right] \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace : f(x) = (\sqrt{-3x+4}+\dfrac{1}{3x-2})(2x+3)^3
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right[ \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace, u(x) = \sqrt {-3x+4}+\dfrac{1}{3x-2}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) =(2x+3)^3
On a :
- u est dérivable sur \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right[ \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace et \forall x \in \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right[ \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace, u'(x) = \dfrac{-3}{2\sqrt{-3x+4}}-\dfrac{3}{(3x-2)^2}
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 6(2x+3)^3
D'où, f est dérivable sur \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right[ \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace et :
\forall x \in \left]- \infty;\dfrac{4}{3}\right[ \backslash \lbrace\dfrac{2}{3} \rbrace, f'(x) = (\dfrac{-3}{2\sqrt{-3x+4}}-\dfrac{3}{(3x-2)^2})(2x+3)^3+ 6(2x+3)^2(\sqrt{-3x+4}+\dfrac{1}{3x-2})
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \lbrace-4/3\rbrace : f(x) = (2x^3+4)\times\dfrac{1}{-3x-4}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.
On pose :
- \forall x \in\mathbb{R}, u(x)=2x^3+4
- \forall x \in \mathbb{R}\backslash \lbrace-4/3\rbrace, v(x)=\dfrac{1}{(-3x-4)}
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) =6x^2
- v est dérivable sur \mathbb{R}\backslash \lbrace-4/3\rbrace et \forall x \in \mathbb{R}\backslash \lbrace-\dfrac{4}{3}\rbrace, v'(x) = \dfrac{3}{(-3x-4)^2}
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash \lbrace-4/3\rbrace et :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \lbrace-4/3\rbrace, f'(x) =\dfrac{ 6x^2}{(-3x-4)}+\dfrac{ 3(2x^3+4)}{(-3x-4)^2}=\dfrac{6x^2(-3x-4)+6x^3+12}{(-3x-4)^2}=\dfrac{12(-x^3-2x^2+1)}{(-3x-4)^2}
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty\right[, f(x) = (2x-3)^2\sqrt x
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.
On pose :
- \forall x \in\mathbb{R}, u(x)=(2x-3)^2
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x) = \sqrt x
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=4(2x-3)
- v est dérivable sur \mathbb{R}_+ et \forall x \in \mathbb{R}_+, v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}_+, f'(x) = 4(2x-3)\times \sqrt x + \dfrac{(2x-3)^2}{2\sqrt x} = \dfrac{8x(2x-3)+4x^2-12x+9}{2\sqrt x} = \dfrac{20x^2-36x+9}{2\sqrt x}