Certaines inéquations complexes peuvent se ramener à une inéquation produit ou à une inéquation quotient. Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe du produit ou du quotient en dressant un tableau de signes.
Résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} :
\dfrac{2x-1}{x-1} \gt 3
Déterminer le produit / quotient dont on doit étudier le signe
On passe tous les termes du même côté de l'inégalité pour se ramener à une inéquation du type A \times B \gt 0, A \times B \lt 0, \dfrac{A}{B} \gt 0 ou \dfrac{A}{B} \lt 0.
Les symboles \gt et \lt peuvent être remplacés par les symboles \geqslant et \leqslant.
En cas d'inéquation quotient, on commence par déterminer la ou les éventuelle(s) valeur(s) interdite(s) en résolvant l'équation B =0. Ces-dernières seront éliminées dans le tableau de signes grâce à une double barre.
Ici, l'inéquation est à résoudre sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}.
On passe tous les termes du même côté de l'inégalité. Pour tout réel x\neq1 :
\dfrac{2x-1}{x-1} \gt 3
\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x-1} -3 \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x-1} -\dfrac{3\left(x-1\right)}{x-1} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-3\left(x-1\right)}{x-1} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-3x+3}{x-1} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x-1} \gt 0
On doit donc étudier le signe de \dfrac{-x+2}{x-1} pour résoudre l'inéquation.
Déterminer le signe de chaque facteur
Afin de déterminer le signe du produit ou quotient, on détermine d'abord le signe de chaque facteur séparément.
On étudie d'abord le signe de chaque facteur :
- Pour tout réel x : -x+2 \gt 0 \Leftrightarrow -x \gt -2 \Leftrightarrow x \lt 2
- Pour tout réel x : x-1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 1
Dresser un tableau de signes
On dresse un tableau de signes afin de déterminer le signe du produit ou du quotient.
On dresse ensuite le tableau de signes et on signifie par une double barre que x=1 est une valeur interdite.
Conclure sur les solutions de l'inéquation
On choisit dans le tableau de signes le ou les intervalle(s) sur lequel/lesquels l'inéquation est vérifiée.
Afin de déterminer si les intervalles solutions sont ouverts ou fermés, on vérifie si l'inégalité de l'inéquation est large ou stricte.
L'inéquation est vérifiée lorsque \dfrac{-x+2}{x-1} \gt 0.
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :
S = \left]1 ; 2 \right[