Sommaire
Méthode 1Résolution des inéquations du type x^2\lt a 1Déterminer le signe de a 2Réciter le cours 3ConclureMéthode 2Résolution des inéquations du type x^2\gt a 1Déterminer le signe de a 2Réciter le cours 3ConclureRésolution des inéquations du type x^2\lt a
Une inéquation du type x^2 \lt a peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions en fonction du signe de a.
Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :
x^2 \lt 3
Déterminer le signe de a
Dans l'inéquation x ^2\lt a , on détermine si a est strictement négatif, strictement positif ou nul.
L'inéquation x^2 \lt 3 est une inéquation du type x^2 \lt a, avec a\gt 0.
Réciter le cours
On distingue deux cas :
- Si a \leq 0, l'inéquation x^2 \lt a n'a pas de solution sur \mathbb{R}.
- Si a \gt 0, x^2 \lt a \Leftrightarrow -\sqrt{a}\lt x \lt \sqrt{a}.
Si l'inéquation est large (x^2 \leq a) et si a = 0, l'inéquation admet x= 0 comme unique solution.
Pour tout réel x :
x^2 \lt 3 \Leftrightarrow -\sqrt 3\lt x \lt \sqrt 3
Conclure
On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle.
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :
S = \left] -\sqrt 3 ; \sqrt 3 \right[
Résolution des inéquations du type x^2\gt a
Une inéquation du type x^2 \gt a se résout en fonction du signe de a.
Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :
x^2 \gt 12
Déterminer le signe de a
Dans l'inéquation x ^2 \gt a , on détermine si a est strictement négatif, strictement positif, ou nul.
L'inéquation x^2 \gt 12 est une inéquation du type x^2 \gt a, avec a\gt 0.
Réciter le cours
On distingue deux cas :
- Si a \leq 0, l'inéquation x^2 \gt a est vérifiée pour tout x\in \mathbb{R}.
- Si a \gt 0, x^2 \gt a \Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt a \cr ou \cr x\lt -\sqrt a \end{cases}
Pour tout réel x :
x^2 \gt 12
\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt{12} \cr ou \cr x\lt -\sqrt{12} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt 2\sqrt{3} \cr ou \cr x\lt -2\sqrt{3} \end{cases}
Conclure
On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle ou d'une union d'intervalles.
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :
S = \left] - \infty ; -2\sqrt3 \right[ \cup \left] 2\sqrt3 ; +\infty \right[
Si l'inéquation est du type \left(u\left(x\right)\right)^2\gt a ou \left(u\left(x\right)\right)^2\lt a, on résout de la même manière, sauf qu'après avoir récité le cours, il convient de résoudre une ou deux inéquations afin de déterminer les valeurs de x solutions.