Une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2 = a possède zéro, une ou plusieurs solutions en fonction du signe de a.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :
\left(-2x+5\right)^2 = 4
Identifier le signe de a
Dans l'équation \left(u\left(x\right)\right)^2 =a , on détermine si a est strictement négatif, nul ou strictement positif.
L'équation \left(-2x+5\right)^2 = 4 est une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2 = a, avec a\gt 0.
Résoudre l'équation
On distingue trois cas :
- Si a \lt 0, l'équation \left(u\left(x\right)\right)^2 = a n'a pas de solution dans \mathbb{R}.
- Si a =0, \left(u\left(x\right)\right)^2 = 0 \Leftrightarrow u\left(x\right) = 0. On résout alors cette équation dans \mathbb{R}.
- Si a \gt 0, \left(u\left(x\right)\right)^2 = a \Leftrightarrow\begin{cases} u\left(x\right) = \sqrt a \cr ou \cr u\left(x\right) = -\sqrt a \end{cases}. On résout alors ces deux équations dans \mathbb{R}.
Ainsi, on sait que, pour tout réel x :
\left(-2x+5\right)^2 = 4
\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+5 = \sqrt 4 \cr ou \cr -2x+5 =- \sqrt 4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+5 =2 \cr ou \cr -2x+5 =-2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -2x=-3 \cr ou \cr -2x=-7 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3}{2} \cr ou \cr x=\dfrac{7}{2} \end{cases}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :
S =\left\{ \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}\right\}