Sommaire
Méthode 1En se ramenant à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 1Mettre l'équation sous la forme \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 2Réciter le cours 3RésoudreMéthode 2En retrouvant une identité remarquable 1Passer tous les termes du même côté de l'égalité 2Réciter l'identité remarquable 3Factoriser 4Simplifier les facteurs 5Résoudre l'équationEn se ramenant à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2
Afin de résoudre une équation comportant plusieurs carrés, on peut se ramener à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \left(3x-1\right)^2- \left(x+4\right)^2 = 0.
Mettre l'équation sous la forme \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2
Si possible, on se ramène à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 en passant les expressions au carré de chaque côté de l'égalité.
On passe les expressions au carré de chaque côté de l'égalité. Pour tout réel x :
\left(3x-1\right)^2- \left(x+4\right)^2 = 0
\Leftrightarrow \left(3x-1\right)^2 =\left(x+4\right)^2
Réciter le cours
On récite le cours :
\left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 \Leftrightarrow \begin{cases} u\left(x\right)=v\left(x\right) \cr ou \cr u\left(x\right) = -v\left(x\right) \end{cases}
Or, d'après le cours, on sait que pour tout réel x :
\left(3x-1\right)^2 = \left(x+4\right)^2
\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-1= x+4 \cr ou \cr 3x-1= -\left(x+4\right) \end{cases}
Résoudre
On résout alors les équations :
u\left(x\right) = v\left(x\right) et u\left(x\right) = -v\left(x\right)
On en déduit les solutions de l'équation.
Or, pour tout réel x :
3x-1 = x+4
\Leftrightarrow 3x-x = 4+1
\Leftrightarrow 2x = 5
\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}
De plus, pour tout réel x :
3x-1 =-\left( x+4 \right)
\Leftrightarrow 3x-1 = -x-4
\Leftrightarrow 3x+x = -4+1
\Leftrightarrow 4x = -3
\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :
S = \left\{ -\dfrac{3}{4} ; \dfrac{5}{2} \right\}
En retrouvant une identité remarquable
Afin de résoudre une équation avec plusieurs carrés, on peut parfois se ramener à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2-\left(v\left(x\right)\right)^2= 0 puis utiliser une identité remarquable.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \left(2x+2\right)^2= \left(3x-2\right)^2 .
Passer tous les termes du même côté de l'égalité
On passe tous les termes du même côté de l'égalité afin d'avoir une équation de la forme \left(u\left(x\right)\right)^2 -\left(v\left(x\right)\right)^2 = 0.
On passe les termes du même côté. Pour tout réel x :
\left(2x+2\right)^2= \left(3x-2\right)^2
\Leftrightarrow \left(2x+2\right)^2- \left(3x-2\right)^2 =0
Réciter l'identité remarquable
Rappeler que quels que soient les réels a et b, on a : a^2-b^2 =\left(a-b\right)\left(a+b\right).
Or on sait que, quels que soient les réels a et b :
a^2-b^2 =\left(a-b\right)\left(a+b\right)
Factoriser
On transforme donc l'équation :
\left(u\left(x\right)\right)^2-\left(v\left(x\right)\right)^2 =0
\Leftrightarrow\left[ u\left(x\right) - v\left(x\right)\right]\times \left[ u\left(x\right) + v\left(x\right)\right] =0
On en déduit que, pour tout réel x :
\left(2x+2\right)^2 - \left(3x-2\right)^2 = \left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right]
L'équation devient :
\left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right] = 0
Simplifier les facteurs
L'équation \left[ u\left(x\right) - v\left(x\right)\right]\times \left[ u\left(x\right) + v\left(x\right)\right] = 0 est une équation produit nul. On simplifie chaque facteur de l'équation.
On simplifie l'équation. Pour tout réel x :
\left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right] = 0
\Leftrightarrow \left( 2x+2 - 3x+2 \right) \times \left( 2x+2+ 3x-2\right) = 0
\Leftrightarrow \left( -x+4 \right) \times \left( 5x\right) = 0
Résoudre l'équation
On récite le cours : "un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul".
On peut alors résoudre l'équation.
Or, un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.
D'où, pour tout réel x :
\left( -x+4 \right) \times \left( 5x\right) = 0
\Leftrightarrow -x+4=0 \; ou \; 5x=0
\Leftrightarrow x=4 \; ou \; x=0
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :
S = \left\{ 0;4 \right\}