On définit la fonction f suivante sur \left]0 ; +\infty \right[ par :
f\left(x\right) =a \left(e^x\right)^2 +be^x +c
Avec a, b et c trois réels.
On sait que la fonction passe par le point A \left(0;0\right), qu'elle admet une tangente horizontale en 0 et que f'\left(1\right) = e-e^2.
Quelle est l'expression de f' la dérivée de f en fonction de a, b et c ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que : f\left(x\right) =a \left(e^x\right)^2 +be^x +c = ae^{2x} +be^x + c.
On en déduit que, \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =2ae^{2x} +be^x.
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =2ae^{2x} +be^x
D'après les informations données dans l'énoncé, quelles sont les valeurs des réels a, b et c ?
On peut calculer les valeurs respectives des réels a, b et c en déterminant un système dont les inconnues sont a, b et c. Pour cela on exprime f\left(0\right), f\left(1\right) et f'\left(1\right) en fonction des réels a, b et c.
\begin{cases} f\left(0\right) = 0 \cr \cr f'\left(0\right) = 0\cr \cr f'\left(1\right)=e-e^2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} ae^0+be^0+c = 0 \cr \cr 2ae^0+be^0 =0\cr \cr 2ae^2+be^1=e-e^2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \cr \cr 2a+b =0\cr \cr 2ae^2+be=e-e^2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \cr \cr b =-2a\cr \cr 2ae^2+be=e-e^2 \end{cases}
On remplace l'expression trouvée pour b dans la première et dernière ligne :
\begin{cases} a-2a+c = 0 \cr \cr b =-2a\cr \cr 2ae^2-2ae=e-e^2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = c \cr \cr b =-2a\cr \cr 2a\left(e^2-e\right)=e-e^2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = c \cr \cr b =-2a\cr \cr 2a=\dfrac{e-e^2}{e^2-e} \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = c \cr \cr b =-2a\cr \cr 2a=-1\end{cases}
On obtient finalement :
\Leftrightarrow \begin{cases} c= -\dfrac{1}{2} \cr \cr b =1\cr \cr a=-\dfrac{1}{2}\end{cases}
Finalement, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = -\dfrac{1}{2}\left(e^x\right)^2 + e^x -\dfrac{1}{2}.