Existence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
L'ensemble de définition de la fonction f d'expression f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.
La courbe représentative
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
Comportement
Le sens de variation
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) = a
Signe de la dérivée
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums
Maximum
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) pour x décrivant I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Minimum
Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) pour x décrivant I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Extremum local
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :
- Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 .
- Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.
Opérations
Opérations et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.
Les fonctions f et g définies pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3 sont croissantes sur \left[0;+\infty\right[.
La fonction h définie pour tout réel x par h\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right)=x^2+x^3 est donc également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif. La fonction g=kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f est croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2. Comme 3\gt0, la fonction g est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif. La fonction g=kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2. On a -5 \lt 0, donc g est décroissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de \sqrt u
Soit u une fonction positive sur I.
Les fonctions u et \sqrt u ont le même sens de variation sur I.
La fonction f définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par f\left(x\right)=\dfrac1x est positive et décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.
La fonction g définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par g\left(x\right)=\sqrt {\dfrac{1}{x}} est donc décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.
Sens de variation de \dfrac1u
Soit u une fonction ne s'annulant pas sur I.
Les fonctions u et \dfrac1 u ont des sens de variation contraires sur I.
Soit f la fonction définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[, à valeurs non nulles dans \left]-\dfrac53;+\infty\right[, par f\left(x\right)=3x+5. f est croissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.
La fonction g définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[ par g\left(x\right)=\dfrac{1}{3x+5} est donc décroissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur I.
La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq0
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur I.
La fonction représentée ci-contre est négative sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Les fonctions trigonométriques
Propriétés de parité et de périodicité d'une fonction
Fonctions paires et impaires : domaine de définition
Fonction paire
Soit f une fonction définie sur I. f est paire si et seulement si :
- I est centré en 0.
- Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right).
Soit la fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}.
- \mathbb{R} est centré en 0.
- Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2=x^2=f\left(x\right).
La fonction f est donc paire.
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
Fonction impaire
Soit f une fonction définie sur I. f est impaire si et seulement si :
- I est centré en 0.
- Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3.
- \mathbb{R} est centré en 0.
- Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^3=-x^3=-f\left(x\right).
La fonction f est donc impaire.
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Périodicité d'une fonction
Fonction périodique
Soit f une fonction définie sur I. Soit T un réel strictement positif.
f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si :
- Pour tout réel x tel que x\in I, on a également x+T\in I.
- Pour tout réel x appartenant à I, f\left(x+T\right)=f\left(x\right).
Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sin\left(x\right).
Pour tout réel x :
- Pour tout x\in \mathbb{R}, on a \left(x+2\pi\right)\in \mathbb{R}
- f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)=f\left(x\right)
Donc la fonction f est périodique de période 2\pi.
La fonction sinus
Définition
Fonction sinus
La fonction sinus est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \sin\left(x\right)
- La fonction sinus est impaire.
- La fonction sinus est périodique de période 2\pi .
- Pour tout réel x, -1\leqslant \sin\left(x\right)\leqslant 1
- La fonction sinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Taux d'accroissement et limite
En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1
Sens de variation
Sur \left[ \dfrac{-\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right], les variations de la fonction sinus sont les suivantes :
Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction sinus est la suivante :
La fonction cosinus
Définition
Fonction cosinus
La fonction cosinus est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \cos\left(x\right)
- La fonction cosinus est paire.
- La fonction cosinus est périodique de période 2\pi .
- Pour tout réel x, -1\leqslant \cos\left(x\right) \leqslant1
- La fonction cosinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.
Sens de variation
Les variations de la fonction cosinus sur \left[ -\pi;\pi \right] sont les suivantes :
Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction cosinus est la suivante :
