Triangles rectangles, droites et milieux des cercles circonscrits Problème

Soit DEF un triangle quelconque.
On appelle D', E' et F' les pieds des hauteurs de DEF issues respectivement des sommets D, E et F. Soit H l'orthocentre de DEF.
On appelle enfin Q, R et O les milieux respectifs des segments \left[DE\right], \left[EF\right], \left[DH\right].

Pourquoi le point D' appartient-il au cercle C de diamètre \left[RO\right] ?

Car D' est le pied de la hauteur du triangle DEF issue du sommet D.

Car HD'=HR=HO.

Car les points R, O et D' appartiennent au cercle circonscrit au triangle DEF.

Car le triangle ROD' est rectangle en D'.

Pourquoi le point Q appartient-il au cercle C ?

Car Q est le milieu du segment \left[DE\right].

Car les droites \left(QR\right) et \left(QO\right) sont perpendiculaires et donc le triangle ROQ est rectangle en Q.

Car HD'=HR=HO=HQ.

Car les points R, O, D' et Q appartiennent au cercle circonscrit au triangle ABC.

Pourquoi le point S, milieu de \left[DF\right], appartient-il au cercle C ?

Car S est le milieu du segment \left[DF\right].

Car HD'=HR=HO=HQ=HS.

Car les droites \left(SR\right) et \left(SO\right) sont perpendiculaires, et donc le triangle ROS est rectangle en S.

Car les points R, O, D', Q et S appartiennent au cercle circonscrit au triangle DEF.