Triangles rectangles, droites et milieux des cercles circonscrits Problème

Soit ABC un triangle quelconque.
On appelle M, N et P les pieds des hauteurs de ABC issues respectivement des sommets A, B et C. Soit H l'orthocentre de ABC.
On appelle enfin I, J et K les milieux respectifs des segments \left[AB\right], \left[BC\right], \left[AH\right].

Pourquoi le point M appartient-il au cercle C de diamètre \left[JK\right] ?

Car les droites \left(JM\right) et \left(KM\right) sont perpendiculaires et donc le triangle JKM est rectangle en M.

Car le triangle MJK est isocèle en M.

Car M et N sont symétriques par rapport à la droite (JK).

Car dans le triangle MJK on a JK² = JM² + MK² donc le triangle MJK est rectangle en M d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Pourquoi le point I appartient-il également à C ?

Car les droites \left(IJ\right) et \left(IK\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle JKI est rectangle en I.

Car les points I, J et K appartiennent à un même cercle.

Car dans le triangle IJK, on a JK² = JI²+IK² donc le triangle IJK est rectangle en I d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Car, (IJ) est la hauteur issue de I donc (IJ) est nécessairement perpendiculaire à (JK).

Soit L le milieu de \left[AC\right]. L appartient-il au cercle C ?

Oui.

Non.

On ne peut pas savoir.