Les symétries
Caractérisation d'une symétrie axiale
Caractérisation d'une symétrie axiale
Le point M′ est l'image du point M par la symétrie axiale (appelée aussi symétrie orthogonale ou réflexion) d'axe \Delta si et seulement si \Delta est la médiatrice de \left[ MM' \right].
Caractérisation d'une symétrie centrale
Caractérisation d'une symétrie centrale
Le point M′ est l'image du point M par la symétrie centrale de centre O si et seulement si O est le milieu de \left[ MM' \right].
Les triangles
Les hauteurs
Hauteur
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Une des hauteurs peut être située "à l'extérieur" du triangle.
Les médianes
Médiane
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.
Les médiatrices
Médiatrice
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les bissectrices
Bissectrice
La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.
Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Les triangles rectangles
Théorème de Pythagore
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}
On considère ici un triangle ABC rectangle en C.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2
On en déduit que :
AB = 10 cm
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC, l'égalité BC^2=AB^2+AC^2 est vérifiée, alors le triangle ABC est rectangle en A et [BC] est l'hypoténuse.
D'une part : BC^2=5^2=25.
D'autre part : AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25.
Par conséquent :
BC^2=AB^2+AC^2
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.
Médiane issue de l'angle droit
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.
Médiane issue de l'angle droit : réciproque
Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
Cercle circonscrit : réciproque
Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.
Les parallélogrammes
Caractérisation d'un parallélogramme
Caractérisation d'un parallélogramme
| Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si : |
ou
ou
ou
|
Caractérisation d'un losange
Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque
Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un losange, si et seulement si, tous ses côtés sont de même longueur.
Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme
| Un parallélogramme est un losange, si et seulement si : |
ou
|
Caractérisation d'un rectangle
Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque
Un quadrilatère est un rectangle, si et seulement si, il possède trois angles droits.
Caractérisation d'un rectangle d'un parallélogramme
| Un parallélogramme est un rectangle, si et seulement si : |
ou
|
Caractérisation d'un carré
Caractérisation d'un carré
Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle alors ce quadrilatère est un carré.
Les aires des figures de référence
Le triangle
Aire d'un triangle
L'aire A d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une hauteur par la longueur du côté correspondant :
A=\dfrac{b\times h}{2}
L'aire du triangle ci-dessus est égale à :
A=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12 cm2.
- Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.
- Une hauteur peut se situer à l'extérieur du triangle.
Parallélogramme, losange, rectangle, carré
Aire d'un parallélogramme
L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :
A=B\times h
L'aire A du parallélogramme ci-dessus est égale à :
A=9\times6=54 cm2
Les losanges, rectangles et carrés sont des parallélogrammes.
Le disque
Aire d'un disque
L'aire A d'un disque de rayon R est égale à :
A=\pi R^2
L'aire du disque ci-dessous est égale à :
A=\pi\times3^2 = 9 \pi cm2
Le trapèze
Aire d'un trapèze
L'aire A d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la hauteur par la somme des bases :
A=\dfrac{h\left(b+B\right)}{2}
L'aire A du trapèze ci-dessous est égale à :
A=\dfrac{2{,}5\times\left(11+5\right)}{2}=\dfrac{2{,}5\times 16}{2}=20 cm2