Soit ABC un triangle équilatéral. O est le centre de son cercle circonscrit C, D est le point du cercle C diamétralement opposé à B.
Faire une figure puis calculer l'angle \widehat{ABD}.
Il est possible de calculer la mesure de l'angle \widehat{ABD} de deux façons différentes.
Par la méthode de la bissectrice
O étant le centre du cercle circonscrit à ABC, on en déduit que la droite \left(BD\right), passant par O, est la médiatrice du segment \left[AC\right].
Or, dans un triangle équilatéral, médiatrices et bissectrices sont confondues.
ABC étant équilatéral, \left(BD\right) est donc aussi la bissectrice de l'angle \widehat{ABC}, dont la mesure est 60^{\circ}.
On a donc : \widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}
Par la méthode des angles inscrits
On remarque que le cercle C est également circonscrit au triangle ABD. De plus, le côté \left[BD\right] de ce triangle est le diamètre du cercle C, par construction du point D.
On peut en déduire que le triangle ABD est retangle en A.
La somme des angles d'un triangle étant égale à 180^{\circ}, on a donc :
\widehat{ABD}=180^{\circ}-90^{\circ}-\widehat{ADB}
Or, on constate que les angles inscrits \widehat{ADB} et \widehat{ACB} interceptent le même arc du cercle C. Ces deux angles sont donc égaux.
De plus, le triangle ABC étant équilatéral, on a : \widehat{ACB}=60^{\circ} ∘.
On en déduit que \widehat{ADB}=60^{\circ} et donc que :
\widehat{ABD}=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}
On en conclut que : \widehat{ABD}=30^{\circ}.