Pour un triangle donné, il existe quatre points remarquables : l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit au triangle et le centre du cercle inscrit dans le triangle.
On considère la figure suivante :
Que représente le point D par rapport au triangle ABC ?
Déterminer la nature des droites dont le point est l'intersection
On détermine la nature des droites dont le point est l'intersection.
On différencie quatre cas :
- Chacune des droites est issue d'un sommet et coupe perpendiculairement le côté opposé : ce sont des hauteurs.
- Chacune des droites est issue d'un sommet et coupe le côté opposé en son milieu : ce sont des médianes.
- Chacune des droites coupe perpendiculairement en son milieu un côté : ce sont des médiatrices.
- Chacune de ces droites partage un angle du triangle en deux angles de même mesure : ce sont des bissectrices.
On remarque que le point D est l'intersection de trois droites. Or, chacune de ces droites passe par un sommet du triangle ABC et coupe perpendiculairement le côté opposé à ce sommet.
On en déduit que le point D est le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.
Conclure
On conclut en donnant la nature du point recherché.
On distingue toujours quatre cas :
- L'intersection des hauteurs est l'orthocentre du triangle.
- L'intersection des médianes est le centre de gravité du triangle.
- L'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.
- L'intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
On en conclut que D est l'orthocentre du triangle ABC.