Sommaire
1Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles) 2Justifier éventuellement la continuité aux points à problème 3ConclureOn étudie la continuité d'une fonction sur un intervalle I en particulier lorsque l'expression de cette fonction est différente suivant les valeurs de x.
On considère la fonction f définie sur \left[ 2 ; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(2\right) = 4 \cr \cr \forall x \gt 2, \;f\left(x\right) =\dfrac{x^2-4}{x-2} \end{cases}
Etudier la continuité de la fonction f sur \left[ 2 ; +\infty \right[.
Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles)
D'après le cours, on sait que :
- Les fonctions de références sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I.
On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est définie.
La fonction x \mapsto x^2-4 est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ en tant que fonction polynôme.
De même, x \mapsto x-2 est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ en tant que fonction polynôme. De plus, elle ne s'annule pas sur \left]2 ; +\infty \right[.
Par quotient, f est continue sur \left]2 ; +\infty \right[.
.
Justifier éventuellement la continuité aux points à problème
Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité.
Pour cela, on sait que si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right), alors la fonction f est continue en x=a.
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right)=f\left(2\right). On a :
- f\left(2\right) =4
- Pour tout x\gt2, f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=x+2. Ainsi, \lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to 2}\left(x+2\right)=4.
On en déduit que :
\lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right) = f\left(2\right)
Par conséquent, la fonction f est continue en x=2.
Conclure
On conclut en donnant le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction f est continue.
D'après les questions précédentes, f est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ et en x=2.
On en conclut que f est continue sur \left[2 ; +\infty \right[.