Sommaire
1Rappeler le cours 2Calculer \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right) 3Rappeler la valeur de f\left(a\right) 4ConclureAfin d'étudier la continuité d'une fonction f en un réel a, il faut comparer \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) et f\left(a\right).
On considère la fonction f définie sur \left[ 3 ; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(3\right) = 0 \cr \cr \forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3} \end{cases}
Etudier la continuité de la fonction f en 3.
Rappeler le cours
On rappelle qu'une fonction f est continue en x=a si et seulement si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right).
La fonction f est continue en x=3 si et seulement si \lim\limits_{x \to 3} f\left(x\right) = f\left(3\right).
Calculer \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)
On calcule \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right).
On a :
\forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3}
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 3}f\left(x\right) = 0
Rappeler la valeur de f\left(a\right)
On rappelle la valeur de f\left(a\right).
D'après l'énoncé, f\left(3\right)=0.
Conclure
On conclut :
- Si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right) alors f est continue en a.
- Si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) \neq f\left(a\right) alors f n'est pas continue en a.
Ainsi, on a :
\lim\limits_{x \to 3}f\left(x\right) = f\left(3\right)
La fonction f est donc continue en x=3.