Le sens de variation d'une fonction
Le signe de la dérivée d'une fonction dérivable donne le sens de variation de la fonction.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, inclus dans son ensemble de définition.
- f'\geq0 sur I si et seulement si f est croissante sur I.
- f'\leq0 si et seulement si f est décroissante sur I.
- f' est nulle sur I si et seulement si f est constante sur I.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=-8x^2
f dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-16x
- \forall x \in \left]-\infty; 0 \right], f'(x)\geq0. f est donc croissante sur \left]-\infty; 0 \right].
- \forall x \in \left[0;+\infty\right[, f'(x)\leq0. f est donc décroissante sur \left[0;+\infty\right[.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
Soit f la fonction cube. f est dérivable sur \mathbb{R} et croissante sur \mathbb{R}.
Sa dérivée f' est donc positive ou nulle sur \mathbb{R}.
En effet :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=x^3
D'où :
\forall x \in\mathbb{R}, f'(x)=3x^2
On a bien :
\forall x \in\mathbb{R}, f'(x)\geq0
On obtient de la même manière :
- Si f'\gt0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f'\lt0, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums d'une fonction
Les extremums (ou extrema) d'une fonction sont les valeurs extrêmes de la fonction sur son ensemble de définition. Toutes les fonctions n'en ont pas. Si on connaît le sens de variation d'une fonction, alors on peut facilement déterminer les éventuels extremums.
Extremum
L'extremum d'une fonction est un maximum ou un minimum de cette fonction.
Extremum global
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et c un nombre réel de I.
- On dit que f admet un maximum global en c sur I si pour tout nombre réel x de I, f(x)\leq f(c).
- On dit que f admet un minimum global en c sur I si pour tout nombre réel x de I, f(x)\geq f(c).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=1-x^2
On a :
\forall x \in\mathbb{R}, x^2\geq 0
Donc :
\forall x \in\mathbb{R}, -x^2\leq 0
Et :
\forall x \in\mathbb{R}, 1-x^2\leq 1
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)\leq 1
De plus :
f(0)=1-0^2=1
On a donc bien :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)\leq f(0)=1.
f admet un maximum global en 0 qui vaut 1.
Extremum local
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et c un nombre réel de I.
On dit que f admet un extremum local en c s'il existe un intervalle ouvert J, inclus dans I et contenant c tel que f(c) soit un extremum pour f sur J.
On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} dont le tableau de variations est le suivant :
La fonction f admet un maximum local en -3.
En effet, sur l'intervalle ]-7;2[, f(-3) est un maximum pour la fonction f.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de \mathbb{R} et c un réel de I.
f(c) est un extremum local de f si et seulement si f' s'annule et change de signe en c
On considère la fonction carré que l'on note ici f. On connaît le tableau de variations de f :
f admet un minimum en 0. La dérivée de f s'annule et change de signe en 0.
Si la dérivée de f s'annule en c sans changer de signe, alors f(c) n'est pas un extremum pour f.
Notons f la fonction cube. On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^3
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3x^2
On a :
(f'(0)=0\)
Mais :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geq0
La dérivée s'annule en 0 mais ne change pas de signe. f(0) n'est donc ni un maximum ni un minimum pour la fonction cube.
Soit I un intervalle ouvert de \mathbb{R}, c un réel de I et f une fonction dérivable sur I. Si f(c) est un extremum local pour la fonction f, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse c a pour équation :
T_c:y=f(c)
On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in\mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}
g=\dfrac{1}{v}, avec :
\forall x \in\mathbb{R}, v(x)=x^2+1.
v est dérivable sur \mathbb{R} et ne s'annule pas sur \mathbb{R}. De plus :
\forall x \in\mathbb{R}, v'(x)=2x
g est donc dérivable sur \mathbb{R} et :
g'=\dfrac{-v'}{v^2}
\forall x \in\mathbb{R}, g'(x)=\dfrac{-2x}{x^2+1}
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2+1\gt0
- -2x\gt0\Leftrightarrow x\lt0
On obtient donc le tableau de variations suivant :
g admet un maximum en 0. Une équation de la tangente, T_0, à la courbe de g au point d'abscisse 0 est donc :
T_0:y=g(0)
Soit :
T_0:y=1
On obtient le graphique suivant :
La méthode de Newton
La méthode de Newton (ou Newton-Raphson) est une méthode permettant de déterminer une approximation d'une racine d'une fonction. Elle consiste à construire une suite de réels s'approchant de la racine recherchée.
Les zéros d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. On appelle zéro de f toute valeur \alpha de I telle que f(\alpha)=0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=5x^2+4x-9
On a :
f(1)=5\times 1^2+4\times 1-9=5+4-9=0
1 est un zéro de f.
La méthode de Newton
Soit f une fonction dérivable sur intervalle I de \mathbb{R} et admettant un zéro sur I.
- On part d'une première approximation x_0 du zéro recherché de la fonction.
- À chaque étape, on part de l'approximation x_n précédente du zéro. On approxime la fonction par la fonction affine correspondant à la tangente au point d'abscisse x_n et on définit x_{n+1} comme le zéro de cette fonction affine.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=x^2-2
\sqrt{2} est un zéro de f. On en cherche une valeur approchée en utilisant la méthode de Newton.
En prenant x_0=1, on a une première approximation de \sqrt{2}.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction f' définie par :
\forall x \in\mathbb{R}, f'(x)=2x
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 a pour équation :
y=f'(1)(x-1)+f(1)
Or :
- f'(1)=2\times 1=2
- f(1)=1^2-2=-1
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 a donc pour équation :
y=2(x-1)-1
Soit :
y=2x-3
En notant g la fonction affine représentée par cette tangente, on a :
g(x)=0\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}
On pose alors :
x_1=\dfrac{3}{2}
On cherche alors la fonction affine représentée par la tangente à la courbe de f au point d'abscisse \dfrac{3}{2}.
Et on pose x_2 le zéro de cette fonction.
On poursuit ainsi de suite.
Soit f une fonction dérivable sur intervalle I de \mathbb{R} et admettant un zéro, \alpha, sur I. Soit x_0 une approximation de \alpha.
La suite construite à partir de x_0 en utilisant la méthode de Newton est définie sur \mathbb{N} par :
\forall n \in\mathbb{N}, x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}
On considère la fonction f définie sur I=[0;+\infty[ par :
\forall x \in[0;+\infty[, f(x)=x^2-2
La fonction f est dérivable sur I de dérivée f' définie par :
\forall x \in[0;+\infty[, f'(x)=2x
En choisissant 1.4 comme valeur approchée x_0 du zéro cherché, on obtient les termes suivants :
Voici un programme en langage Python implémentant l'algorithme décrit précédemment. Il est écrit pour s'arrêter dès que deux termes consécutifs de la suite crée sont suffisamment proches.
La précision donnée par défaut ici est 0,00001. La fonction est notée "fonction" et sa dérivée "derivee".
On considère la fonction f définie sur I=[0;+\infty[ par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=x^2-2.
La fonction f est dérivable sur I de dérivée f' définie par :
\forall x \in\mathbb{R}, f'(x)=2x
On utilise alors le script suivant :
En choisissant 1.4 comme valeur approchée x_0 du zéro cherché, on obtient :
