On pose :
f(x) = \left(x-1\right)\sqrt{x}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont les deux affirmations exactes ?
La fonction x \longmapsto x est positive sur \left[0,+\infty\right[ et s'annule en 0.
La fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R}_+ et dérivable sur \mathbb{R}^*_+.
f est donc définie sur \left[0,+\infty\right[ et dérivable sur \left]0,+\infty\right[.
Quelle est la dérivée de f sur son ensemble de dérivabilité ?
Notons f(x)=u(x)\times v(x) avec u(x)=x-1 et v(x)=\sqrt{x}.
On sait que :
f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)
Avec u'(x)=1 et v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
On obtient :
\begin{aligned}f'(x) &= 1\times \sqrt{x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\&=\sqrt{x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\\end{aligned}
La dérivée de f sur son ensemble de dérivabilité est donc :
f'(x)=\sqrt{x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}
Parmi les propositions suivantes, quelle affirmation est exacte ?
On étudie le signe de f' sur ]0,+\infty[ :
f'(x)=\sqrt{x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\\Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{x} + x-1}{2\sqrt{x}}\\\Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{2x + x - 1}{2\sqrt{x}}\\\Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}}
On sait que \forall x\in ]0, +\infty], 2\sqrt{x}\gt0.
Donc, f'(x) est du signe de 3x-1.
\forall x\in ]0, +\infty], 3x-1\gt0 \Leftrightarrow x\gt\dfrac{1}{3}
f' est donc négative sur ]0;\dfrac{1}{3}] et positive sur [\dfrac{1}{3} ; +\infty[.
Quel est le tableau de variations de f ?
D'après la question précédente, f' est négative sur ]0;\dfrac{1}{3}] et positive sur [\dfrac{1}{3} ; +\infty[.
f est donc décroissante sur ]0;\dfrac{1}{3}] et croissante sur [\dfrac{1}{3} ; +\infty[.
De plus :
f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3} - 1\right)\times \sqrt{\dfrac{1}{3}}
f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{-2}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{3}
f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{-2\sqrt{3}}{9}
On a aussi \lim\limits_{x \to 0}f(x) = 0 et \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
Le tableau de variations de f est donc :
