Un ordinateur utilise le système binaire pour coder les caractères et ensuite les mettre en mémoire.
Un système binaire n'utilise que des suites de nombres appartenant {0;1}. Chaque nombre est appelé un byte.
On appelle un octet une suite de 8 bites.
Quel est le nombre d'octets différents que peut coder un ordinateur ?
Dans un problème de dénombrement, la première étape est de trouver quel est le type de dénombrement à effectuer.
Ici, on se place dans une situation où l'on dispose d'un ensemble possible E=\{ 0;1\} .
Un octet est une suite d'éléments {a_1 , a_2 ,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8} où a_i \in E.
Donc un octet est une 8-listes (aussi appelé 8-uplets) de E.
Le nombre d'octets différents est donc :
card(E^k) = ( card \: E)^k = 2^k = 256
Ainsi, le nombre d'octets différents que peut coder un ordinateur est 256.
Un ordinateur dispose de 12 octets distincts en mémoire.
Combien de suites d'octets peut-il coder ?
Dans un problème de dénombrement, la première étape est de trouver quel est le type de dénombrement à effectuer.
Ici, on se place dans une situation où l'on dispose d'un ensemble possible E constitué de 12 octets distincts. L'objectif est de trouver le nombre de suite d'éléments distincts de E que l'on peut trouver.
Il s'agit donc ici de trouver le nombre de permutations d'éléments de E.
D'après le cours, le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n!.
Comme Card(E)=12, le nombre de permutations est :
12! = 12 \times 11 \times 10 \times ... \times 2 \times 1 = \text{479 001 600}
Le nombre de suites d'octets distincts possible est donc de 479 001 600.
On considère l'ensemble des 256 octets distincts.
Combien de suites de 3 octets distincts l'ordinateur peut-il créer ?
Dans un problème de dénombrement, la première étape est de trouver quel est le type de dénombrement à effectuer.
Ici, on se place dans une situation où l'on dispose d'un ensemble possible E constitué de 256 octets distincts. L'objectif est de trouver le nombre de suites d'éléments distincts de E à 3 éléments distincts que l'on peut trouver. L'ordre compte.
Il s'agit donc ici de trouver le nombre d'arrangements à 3 éléments (ou de 3-uplets à éléments distincts) de E.
D'après le cours, le nombre d'arrangements à p éléments d'un ensemble de cardinal n avec n \geq p est :
\dfrac{n!}{(n-p)!}
Comme Card(E)=256 et p=3, le nombre d'arrangements à 3 éléments de E est :
\dfrac{256!}{(256-3)!} = \dfrac{256!}{253!} = 256 \times 255 \times 254= 16\: 581 \:120
Le nombre d'arrangements de 3 octets distincts est donc de 16 581 120.