On dispose d'un jeu de 32 cartes dont on extrait 5 cartes.
Ces 5 cartes sont appelées une main.
Combien y a-t-il de mains différentes ?
Dans un exercice de dénombrement, il faut s'intéresser au type de dénombrement à effectuer.
Ici, il s'agit de tirer 5 cartes simultanément dans un paquet de 32 cartes.
Le nombre de mains est donc le nombre de combinaisons à 5 éléments dans un ensemble à 32 éléments.
D'après le cours, le nombre de mains est donc :
\begin{pmatrix} 32 \cr 5 \end{pmatrix} = \dfrac{32!}{27! \times 5!} = \dfrac{ 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 }{5!} = 201 \: 376
Le nombre de mains différentes est donc 201\: 376.
On dispose d'un jeu de 32 cartes dont l'on extrait 5 cartes.
Ces 5 cartes sont appelées une main.
Combien y a-t-il de mains qui comportent 4 cartes identiques (un carré) ?
Dans un exercice de dénombrement, il faut s'intéresser au type de dénombrements à effectuer.
Ici, il s'agit de tirer 5 cartes simultanément dans un paquet de 32 cartes. Dans ces 5 cartes, il faut avoir 4 cartes identiques.
Il y a 8 possibilités d'avoir un carré (une par contre différente). Il suffit ensuite de compléter ces carrés par une carte choisie au hasard dans le reste des cartes (soit 32-4=28). C'est donc la combinaison d'une carte dans un ensemble de 28 éléments.
Ainsi, le nombre de mains comportant un carré est :
8 \times \begin{pmatrix} 28 \cr 1 \end{pmatrix} = 8 \times 28 = 224
Il y a donc 224 mains comportant un carré.
On dispose d'un jeu de 32 cartes dont l'on extrait 5 cartes.
Ces 5 cartes sont appelées une main.
Combien y a-t-il de mains qui comportent 2 paires distinctes ?
Dans un exercice de dénombrement, il faut s'intéresser au type de dénombrements à effectuer.
Ici, il s'agit de tirer 5 cartes simultanément dans un paquet de 32 cartes. Dans ces 5 cartes, il faut avoir 2 paires distinctes.
On calcule tout d'abord le nombre de doubles paires possibles. On choisit 2 cartes distinctes dans un ensemble de 8 cartes pour déterminer le nombre de hauteurs possibles donc une combinaison de 2 éléments dans un ensemble à 8 éléments, soit \begin{pmatrix} 8 \cr 2 \end{pmatrix}= 28 hauteurs possibles.
Une fois la hauteur choisie, il y a \begin{pmatrix} 4 \cr 2 \end{pmatrix} = 6 possibilités par couleur.
Il y a donc : 28 \times 6 \times 6 = \text{1 008} doubles paires différentes.
Une fois les doubles paires choisies, il suffit de compléter le jeu avec 1 carte différente des deux couleurs choisies donc parmi 24 possibilités. Il s'agit donc d'une combinaison à 1 élément dans un ensemble à 24 éléments.
Ainsi, le nombre de mains comportant deux paires distinctes est :
\text{1 008}\times 24 = 24\: 192
Le nombre de mains comportant deux paires distinctes est donc de 24 192.
On dispose d'un jeu de 32 cartes dont l'on extrait 5 cartes. Ces 5 cartes sont appelées une main.
Combien y a-t-il de mains qui comportent exactement une paire ?
Dans un exercice de dénombrement, il faut s'intéresser au type de dénombrements à effectuer.
Ici, il s'agit de tirer 5 cartes simultanément dans un paquet de 32 cartes. Dans ces 5 cartes, il faut avoir une paire.
On calcule tout d'abord le nombre de paires possibles. Il y a 8 cartes différentes dans le paquet et, pour chaque carte, il y a \begin{pmatrix} 4 \cr 2 \end{pmatrix} paires différentes. Il y a donc 8 \times 6 = 48 paires différentes.
Une fois la paire choisie, on choisit la 3e carte dans les 28 cartes restantes. Puis on choisit la 4e carte parmi les 24 restantes (on ne veut pas tirer la même que la 3e sinon on aurait une double paire). Enfin, on choisit la 5e dans les 20 restantes.
L'ordre du tirage de ces cartes n'ayant pas d'importance, il y a : \dfrac{28 \times 24 \times 20 }{3\times 2} =\text{2 240} possibilités pour le tirage de ces cartes.
Finalement, le nombre de mains contenant exactement une paire est :
48 \times \text{2 240} = 107\:520
Le nombre de mains comportant exactement une paire est donc 107 520.