Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos\left(-4\pi x\right)+3=-\cos\left(4\pi x\right)+3, donc f n'est ni paire ni impaire.

Le domaine de définition de f n'est pas centré en 0.

Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, -\left(\cos\left(4\pi x\right)+3\right)=-\cos\left(4\pi x\right)-3, donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos\left(-4\pi x\right)+3=\cos\left(4\pi x\right)+3, donc f est paire

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\right) = \cos\left(4\pi x +2\pi\right)+3=\cos\left(4\pi x\right)+3=f\left(x\right) . De plus le coefficient devant le x est 4, il faut donc diviser 2 par 4.

Donc f est périodique de période \dfrac12.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac12\right) = \cos\left(4\pi x +\pi\right)+3=\cos\left(4\pi x\right)+3=f\left(x\right) .

Donc f est périodique de période \dfrac12.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac12\right) = \cos\left(4\pi x +2\pi\right)+3=\cos\left(4\pi x\right)+3=f\left(x\right) .

Donc f est périodique de période \dfrac12.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac12\right) = \cos\left(4\pi x +4\pi\right)+3=\cos\left(4\pi x\right)+3=f\left(x\right) .

Donc f est périodique de période \dfrac12.

La fonction f est périodique de période \dfrac12, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac12, par exemple \left[ 0;\dfrac12 \right].

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la moitié de tout intervalle d'amplitude \dfrac12, par exemple \left[ 0;\dfrac14\right].

La fonction f est périodique de période \dfrac12, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac12, par exemple \left[ -\dfrac12;\dfrac12 \right].

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude au quart positif de l'intervalle précédent \left[ 0;\dfrac14\right].

La fonction f est périodique de période \dfrac12, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac12, par exemple \left[ -\dfrac14;\dfrac14 \right].

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de l'intervalle précédent \left[ 0;\dfrac14\right].

La fonction f est périodique de période \dfrac12, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac12, par exemple \left[ -\dfrac12;\dfrac12 \right].

De plus f est paire, donc on peut donc réduire son étude à la moitié positive de l'intervalle précédent \left[ 0;\dfrac12\right].

Enfin, f est la composé de la fonction \cos et de x \longmapsto 4\pi x, avec un coefficient pair devant le x, donc on peut encore réduire l'intervalle d'étude de moitié pour étudier sur \left[ 0;\dfrac14\right].