Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 5\sin\left(-4x+\pi\right)=5\sin\left(-4x\right)=-5\sin\left(4x\right)=-5\sin\left(-4x+\pi\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 5\sin\left(-4x+\pi\right)=-5\sin\left(-4x\right)=-5\sin\left(4xi\right)=-5\sin\left(-4x+\pi\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 5\sin\left(-4x+\pi\right)=-5\sin\left(-4x\right)=5\sin\left(4xi\right)=-5\sin\left(-4x+\pi\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 5\sin\left(-\left(4x+\pi\right)\right)=-5\sin\left(4x+\pi\right), donc f est impaire.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4x+\dfrac{\pi}{2}+\pi\right) =5\sin\left(4x+\pi\right)=f\left(x\right), donc f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\pi\right)=5\sin\left(4x+2\pi\right)=f\left(x\right), donc f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\pi\right)=5\sin\left(4x+\pi\right)=f\left(x\right), donc f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4x+\dfrac{\pi}{2}+\pi\right) =-5\sin\left(4x+\pi\right)=-f\left(x\right), donc f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{2}.

De plus f est impaire, on peut donc réduire son étude n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac {\pi}4, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{2}, par exemple \left[ -\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4} \right]

De plus f est impaire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de \left[ -\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4} \right], c'est-à-dire \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}, mais le coefficient devant le x est 4, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude \dfrac\pi4, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{2}, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right]

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à un intervalle d'amplitude la moitié du précédent, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right].