Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

Le domaine de définition de f n'est pas centré en 0.

Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos\left(10\left(-x\right)\right)+3=\cos\left(10x\right)+3, donc f est paire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, -\left(\cos\left(10\left(-x\right)\right)+3\right)=-\cos\left(10x\right)-3, donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos\left(10\left(-x\right)\right)-3=\cos\left(10x\right)-3, donc f n'est ni paire ni impaire.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac\pi5\right) = \cos\left(10x+\dfrac\pi5\right)+3=\cos\left(10x\right)+3, donc f est périodique de période \dfrac{\pi}5.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac\pi5\right) = \cos\left(10\left(x+\dfrac\pi5\right)\right)+3=\cos\left(10x\right)+3, donc f est périodique de période \dfrac{\pi}5.

Il existe x \in \mathbb{R} tel que f\left(x+\dfrac\pi5\right) = \cos\left(10\left(x+\dfrac\pi5\right)\right)+3=\cos\left(10x\right)+3, donc f est périodique de période \dfrac{\pi}5.

Pour tout x \in \mathbb{R}^+, f\left(x+\dfrac\pi5\right) = \cos\left(10x+\dfrac\pi5\right)+3=\cos\left(10x\right)+3, donc f est périodique de période \dfrac{\pi}5.

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{5}, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{5}.

De plus f est impaire, on peut donc réduire son étude à l'intervalle la moitié de l'intervalle précédent, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{10} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{5}, on peut donc restreindre son étude à l'intervalle \left[ -\dfrac \pi 5 ; \dfrac \pi 5 \right]

De plus f est impaire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de cet intervalle, soit \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{10} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{5}, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{5}.

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac \pi {10}, par exemple \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{10} \right].

La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{5}, on peut donc restreindre son étude à l'intervalle \left[ -\dfrac \pi {10} ; \dfrac \pi {10} \right]

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de cet intervalle, soit \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{10} \right].