Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = sinx

Que peut-on dire de la parité de f ?

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right), donc f est paire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-x\right)=\sin\left(x\right), donc f est paire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-x\right)=\sin\left(x\right), donc f est impaire.

Quelle proposition montre que f est périodique de période 2\pi ?

On sait qu'il existe x \in \mathbb{R} tel que \sin\left(x+2\pi\right) = \sin\left(x\right), donc f est périodique de période 2\Pi.

On sait que pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(x+2\pi\right) = \sin\left(x\right), donc f est périodique de période 2\Pi.

On sait que pour tout x \in \mathbb{R}, \dfrac {\sin\left(x+2\pi\right)} {\sin\left(x\right)}=1, donc f est périodique de période 2\Pi.

On sait qu'il existe x \in \mathbb{R} tel que \dfrac {\sin\left(x+2\pi\right)} {\sin\left(x\right)}=1, donc f est périodique de période 2\Pi.

Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; \pi \right] ?

La fonction f est périodique de période 2\pi.

De plus f est paire, donc pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(x\right)=\sin\left(x+ \pi\right).

On peut donc restreindre le domaine d'étude à \left[ 0 ; \pi\right].

La fonction f est périodique de période 2\pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude 2\pi, par exemple \left[ -\pi ; \pi\right].

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la partie positive de l'intervalle \left[ -\pi ; \pi\right], c'est-à-dire \left[ 0 ; \pi\right].

La fonction f est périodique de période 2\pi.

De plus f est paire, donc pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(x-\pi\right)=\sin\left(x+ \pi\right).

On peut donc restreindre le domaine d'étude à \left[ 0 ; \pi\right].

La fonction f est périodique de période 2\pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude 2\pi.

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \dfrac {2\pi}2=\pi, par exemple \left[ 0 ; \pi\right].