Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = \sin\left(2x\right)

Que peut-on dire de la parité de f ?

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2\times\left(-x\right)\right)=\sin\left(-2x\right)=-\sin\left(2x\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2\times\left(-x\right)\right)=\sin\left(-2x\right)=\sin\left(2x\right), donc f est paire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 2\sin\left(-x\right)=-2\sin\left(x\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, 2\sin\left(-x\right)=2\sin\left(x\right), donc f est paire.

Quelle proposition montre que f est périodique de période \pi ?

Pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2x+\pi\right) =\sin\left(x\right), donc f est périodique de période \pi.

Pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2x+\pi\right) = \sin\left(2x\right), donc f est périodique de période \pi.

Pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2\left(x+\pi\right)\right) = \sin\left(2x+\pi\right), donc f est périodique de période \pi.

Pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2\left(x+\pi\right)\right) =\sin\left(2x\right), donc f est périodique de période \pi.

Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right] ?

La fonction f est périodique de période \pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \pi.

De plus f est paire, donc pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2x\right)=\sin\left(2x+ \pi\right) et on peut diviser \pi par le coefficient devant le x.

On peut donc restreindre le domaine d'étude à \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right].

La fonction f est périodique de période \pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \pi, par exemple \left[ -\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}{2} \right]

De plus f est impaire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de l'intervalle précédent, c'est-à-dire \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right].

La fonction f est périodique de période \pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \pi.

De plus f est impaire, donc pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(2x\right)=\sin\left(2x+ \pi\right) et on peut diviser \pi par le coefficient devant le x.

On peut donc restreindre le domaine d'étude à \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right].

La fonction f est périodique de période \pi, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude \pi, par exemple \left[ -\pi ; \pi \right]

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude au quart positif de l'intervalle précédent, c'est-à-dire \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right].