Restreindre le domaine de définition d'une fonction trigonométrique Exercice

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(\pi\left(- x\right)\right)=-\sin\left(\pi x\right), donc f est impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-\pi x\right)=\sin\left(\pi x\right), donc f est paire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(-\pi x\right)=\cos\left(\pi x\right), donc f n'est ni paire ni impaire.

Le domaine de définition de f est centré en 0.

De plus, pour tout x \in \mathbb{R}, \sin\left(\pi - x\right)=\sin\left(x\right), donc f est paire.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\right)=\sin\left(\pi x+2\right)=f\left(x\right) car la fonction \sin est périodique de période 2\pi. Donc f est périodique de période 2.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\right)=\sin\left(\pi x+2\pi\right)=f\left(x\right) car la fonction \sin est périodique de période 2\pi. Donc f est périodique de période 2.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(\pi x+2\right)=f\left(x\right) car la fonction \sin est périodique de période 2\pi. Donc f est périodique de période 2.

Pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(\pi x+2\pi\right)=f\left(x\right) car la fonction \sin est périodique de période 2\pi. Donc f est périodique de période 2.

La fonction f est périodique de période 2, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude 2.

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la partie positive de tout intervalle d'amplitude 2, par exemple \left[ 0 ; 1\right].

La fonction f est périodique de période 2, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude 2, par exemple \left[ -1 ; 1\right]

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude à la moitié positive de cet intervalle, c'est-à-dire \left[ 0 ; 1\right].

La fonction f est périodique de période 2, or la fonction est une composée de \sin et de x\longmapsto \pi x, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude \dfrac{2\pi}{2\times \pi}=1, par exemple \left[ 0 ; 1\right].

La fonction f est périodique de période 2, on peut donc restreindre son étude à n'importe quel intervalle d'amplitude 2, par exemple \left[ -2 ; 2\right].

De plus f est paire, on peut donc réduire son étude au quart de cet intervalle, par exemple \left[ 0 ; 1\right].