Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=3

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)=30\left(-y+3\right)\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=1

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)=30\left(-y+3\right)\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=2

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=2\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)=30\left(-y+3\right)\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=2

On a donc :

22x+30y=\left(22\times4\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)=30\left(-y+3\right)\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 75x-21y=\left(75\times\left(2\right)\right)-\left(21\times7\right)\\\Leftrightarrow75\left(x-2\right)=21\left(y-7\right)\\\\\Leftrightarrow25\left(x-2\right)=7\left(y-7\right)

25 divise donc 7\left(y-7\right). De plus, 7 et 25 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 25 divise y-7

On a donc : y=7+25k et x=2+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 75x-21y=\left(75\times\left(2\right)\right)-\left(21\times7\right)\\\Leftrightarrow75\left(x-2\right)=21\left(y-7\right)\\\\\Leftrightarrow25\left(x-2\right)=7\left(y-7\right)

25 divise donc 7\left(y-7\right). De plus, 7 et 25 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 25 divise 5

On a donc : y=7+25k et x=2+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 75x-21y=\left(75\times\left(2\right)\right)-\left(21\times7\right)\\\Leftrightarrow75\left(x-2\right)=21\left(y-7\right)\\\\\Leftrightarrow25\left(x-2\right)=7\left(y-7\right)

25 divise donc 7\left(y-7\right). De plus, 7 et 25 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Bézout, 25 divise y-7

On a donc : y=7+25k et x=2+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 75x-21y=\left(75\times\left(2\right)\right)+\left(21\times7\right)\\\Leftrightarrow75\left(x-2\right)=21\left(y-7\right)\\\\\Leftrightarrow25\left(x-2\right)=7\left(y-7\right)

25 divise donc 7\left(y-7\right). De plus, 7 et 25 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 25 divise y-7

On a donc : y=7+25k et x=2+7k, k\in\mathbb{Z}

\left(2+7k ;7+25k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(2-7k ;7+25k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(2+7k ;7-25k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-2+7k ;7+25k\right),k\in\mathbb{Z}