Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 12x -7y = 1

On sait que le couple \left(-4 ; -7\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 12\left(x+4 \right) = 7\left(y+7\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)=1

On a donc :

12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)-7\left(y+7\right)=0\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)=1

On a donc :

12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\\\Leftrightarrow12\left(x-4\right)-7\left(y+7\right)=0\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)=1

On a donc :

12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)+7\left(y+7\right)=0\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(12\times\left(4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)=1

On a donc :

12x-7y=\left(12\times\left(4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)-7\left(y+7\right)=0\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -4+7 k et y=-7+12k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)\\

12 divise donc 7\left(y+7\right). De plus, 7 et 12 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 12 divise y+7

On a donc : y=-7+12k et x=-4+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)\\

4 divise donc 7\left(y+7\right). De plus, 7 et 12 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 12 divise y+7

On a donc : y=-7+12k et x=-4+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)\\

12 divise donc 7\left(y+7\right).

Donc, d'après le théorème de Gauss, 12 divise y+7

On a donc : y=-7+12k et x=-4+7k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 12x-7y=\left(12\times\left(-4\right)\right)-\left(7\times\left(-7\right)\right)\\\Leftrightarrow12\left(x+4\right)=7\left(y+7\right)\\

12 divise donc 7\left(y+7\right). De plus, 7 et 12 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Bézout, 12 divise y+7

On a donc : y=-7+12k et x=-4+7k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(-4+7k ; -7+12k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(4+7k ; −7+12k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-4+7k ; 7+12k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-4+7k ; -7-12k\right),k\in\mathbb{Z}