Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide Exercice

Les entiers 17 et 29 sont premiers entre eux, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Bézout, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Les entiers 17 et 29 sont premiers entre eux et positifs, on peut donc affirmer, d'après le théorème de Gauss, que l'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.

Une équation diophantienne admet toujours au moins un couple d'entiers solution.

\left(-7 ; 12\right)

\left(-7 ; -12\right)

\left(7 ; 12\right)

\left(7 ; -12\right)

Si (−7,12) est solution de l'équation E, on a alors 29(x+7) = 17(12-y)

17 divise donc 29(x+7).

Or les entiers 17 et 29 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise x+7.

On a donc x = 17k−7 et y = 12 − 29k, k\in\mathbb{Z}

Si (−7,12) est solution de l'équation E, on a alors 29(x+7) = 17(12-y)

17 divise donc 29(x+7).

Or les entiers 17 et 29 sont premiers entre eux.

Donc d'après le théorème de Bézout, 17 divise x+7.

On a donc x = 17k−7 et y = 12 − 29k

Si (−7,12) est solution de l'équation E, on a alors 29(x+7) = 17(12-y)

17 divise donc 29(x+7).

Donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise x+7.

On a donc x = 17k−7 et y = 12 − 29k

Si (−7,12) est solution de l'équation E, on a alors 29(x+7) = 17(12-y)

17 divise donc 29(x+7).

Donc d'après le théorème de Bézout, 17 divise x+7.

On a donc x = 17k−7 et y = 12 − 29k

Si x=17k−7 et y=12−29k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+17y=1.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=17k−7 et y=12−29k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+17y=3.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=17k−7 et y=12−29k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+17y=0.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

Si x=17k−7 et y=12−29k, k\in\mathbb{Z}, alors 29x+17y=7.

(x,y) est bien solution de l'équation E.

\left(17k-7 ;12-29k \right), k\in\mathbb{Z}

\left(17k+7 ;12+29k \right), k\in\mathbb{Z}

\left(17k-7 ;12+29k \right), k\in\mathbb{Z}

\left(17k+7 ;12-29k \right), k\in\mathbb{Z}