Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 9x+8y= 1

On sait que le couple \left(-7 ; 8\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 9\left(x+7\right) = 8\left(-y+8\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)=1

On a donc :

9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)+8\left(y-8\right)=0\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(9\times\left(7\right)\right)+\left(8\times8\right)=1

On a donc :

9x+8y=\left(9\times7\right)+\left(8\times8\right)\\\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)+8\left(y-8\right)=0\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)=1

On a donc :

9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)+8\left(y+8\right)=0\\\Leftrightarrow9\left(x+4\right)=8\left(-y+8\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(9\times\left(8\right)+\left(8\times\left(-7\right)\right)=1

On a donc :

9x+8y=\left(9\times8\right)+\left(8\times\left(-7\right)\right)\\\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)+8\left(y-8\right)=0\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -7+8 k et y=8-9k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)\\

9 divise donc 8\left(-y+8\right). De plus, 8 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 9 divise -y+8

On a donc : y=8-9k et x=-7+8k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)\\

9 divise donc 8\left(-y+8\right). De plus, 8 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 8 divise -y+8

On a donc : y=8-9k et x=-7+8k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)\\

9 divise donc 8\left(-y+8\right). De plus, 8 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 9 divise 8

On a donc : y=8-9k et x=-7+8k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 9x+8y=\left(9\times\left(-7\right)\right)+\left(8\times8\right)\\\Leftrightarrow9\left(x+7\right)=8\left(y+8\right)\\

9 divise donc 8\left(-y+8\right). De plus, 8 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 9 divise -y+8

On a donc : y=8-9k et x=-7+8k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(-7+8k ; 8-9k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-7-8k ; 8-9k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(−7+8k ; 8+9k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(7+8k ; 8-9k\right),k\in\mathbb{Z}