Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : -20x+9y= 1

On sait que le couple \left(-5;-11\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : -20\left(x+5\right) = 9\left(-y-11\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)=1

On a donc :

-20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)+9\left(y+11\right)=0\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=\left(-y-11\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)=1

On a donc :

-20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)-9\left(y+11\right)=0\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=\left(-y-11\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(-20\times\left(5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)=1

On a donc :

-20x+9y=\left(-20\times5\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)+9\left(y+11\right)=0\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=\left(-y-11\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(-20\times\left(-11\right)\right)+\left(9\times\left(-5\right)\right)=1

On a donc :

-20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)+9\left(y+11\right)=0\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=\left(-y-11\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -5+9 k et y=-11+20k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que -20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)\\

20 divise donc 9\left(-y-11\right). De plus, 9 et 20 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 20 divise -y-11

On a donc : y=-11+20k et x=-5+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que -20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)\\

20 divise donc 9\left(-y-11\right). De plus, 9 et 20 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 20 divise -y

On a donc : y=-11+20k et x=-5+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que -20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\Leftrightarrow-20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)\\

20 divise donc 9\left(-y-11\right). De plus, 9 et 20 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Bézout, 20 divise -y-11

On a donc : y=-11+20k et x=-5+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que -20x+9y=\left(-20\times\left(-5\right)\right)+\left(9\times\left(-11\right)\right)\\\Leftrightarrow-20\left(x-5\right)=9\left(-y-11\right)\\

20 divise donc 9\left(-y-11\right). De plus, 9 et 20 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 20 divise -y-11

On a donc : y=-11+20k et x=-5+9k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(−5+9k ; −11+20k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-5-9k ; -11+20k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-5+9k ; -11-20k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(5+9k ; -11+20k\right),k\in\mathbb{Z}