Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 7x +9y = 1

On sait que le couple \left(4 ; -3\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 7\left(x-4 \right) = 9\left(-y-3\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)=1

On a donc :

7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)+9\left(y+3\right)=0\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(7\times4\right)-\left(9\times\left(-3\right)\right)=1

On a donc :

7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)-9\left(y+3\right)=0\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(7\times3\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)=1

On a donc :

7x+9y=\left(7\times3\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\\\Leftrightarrow7\left(x-3\right)+9\left(y+3\right)=0\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)=0

On a donc :

7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)+9\left(y+3\right)=0\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = 4+9 k et y=-3-7k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)\\

7 divise donc 9\left(-y-3\right). De plus, 7 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise -y-3

On a donc : y=-3-7k et x=4+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)\\

7 divise donc 9\left(-y-3\right). De plus, 7 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise 3

On a donc : y=-3-7k et x=4+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 7x+9y=\left(7\times4\right)+\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)\\

7 divise donc 9\left(-y-3\right). De plus, 7 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Bézout, 7 divise -y-3

On a donc : y=-3-7k et x=4+9k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 7x+9y=\left(7\times4\right)-\left(9\times\left(-3\right)\right)\\\Leftrightarrow7\left(x-4\right)=9\left(-y-3\right)\\

7 divise donc 9\left(-y-3\right). De plus, 7 et 9 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise -y-3

On a donc : y=-3-7k et x=4+9k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(4+9k ;-3-7k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(4-9k ;-3-7k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(4+9k ;3-7k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(4+9k ;-3+7k\right),k\in\mathbb{Z}