Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 41x - 27y = 1

On sait que le couple \left(2 ; 3\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)=1

On a donc :

41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)+27\left(-y+3\right)=0\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(41\times2\right)+\left(27\times3\right)=1

On a donc :

41x-27y=\left(41\times2\right)+\left(27\times3\right)\\\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)+27\left(-y-3\right)=0\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(41\times1\right)-\left(27\times2\right)=1

On a donc :

41x-27y=\left(41\times1\right)-\left(27\times2\right)\\\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)+27\left(-y+3\right)=0\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)=1

On a donc :

41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)+27\left(y+3\right)=0\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = 2 +27 k et y=3+41k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)\\

41 divise donc 27\left(y-3\right). De plus, 41 et 27 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 41 divise y-3

On a donc : y=3+41k et x=2+27k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)\\

41 divise donc 27\left(y-3\right).

Donc, d'après le théorème de Gauss, 41 divise y-3

On a donc : y=3+41k et x=2+27k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)\\

41 divise donc 27\left(y-3\right). De plus, 41 et 27 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 41 divise y

On a donc : y=3+41k et x=2+27k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 41x-27y=\left(41\times2\right)-\left(27\times3\right)\\\Leftrightarrow41\left(x-2\right)=27\left(y-3\right)\\

41 divise donc 27\left(y-3\right). De plus, 41 et 27 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 2 divise y-3

On a donc : y=3+41k et x=2+27k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(2+27k ; 3+41k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(2-27k ; 3+41k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(2+27k ; 3-41k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(2-27k ; 3-41k\right),k\in\mathbb{Z}