Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 22x+30y= 2

On sait que le couple \left(-4;3\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=2

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=10\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=0

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=10\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=2

On a donc :

22x+30y=22\times4+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=0\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=10\left(-y+3\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(22\times\left(-4\right)\right)+\left(30\times3\right)=2

On a donc :

22x+30y=\left(22\times\left(-4\right)+\left(30\times3\right)\\\\\Leftrightarrow22\left(x+4\right)+30\left(y-3\right)=2\\\Leftrightarrow11\left(x+4\right)=10\left(-y+3\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x =3-11k et y=-4+15k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

11 divise donc 15\left(-y+3\right). De plus, 11 et 15 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 11 divise -y+3

On a donc : y=-4+15k et x=3-11k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

11 divise donc 15\left(-y+3\right). De plus, 11 et 15 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 11 divise 4

On a donc : y=-4+15k et x=3-11k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

11 divise donc 15\left(-y+3\right). De plus, 11 et 3 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 11 divise -y+3

On a donc : y=-4+15k et x=3-11k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)

11 divise donc 15\left(-y+3\right). De plus, 11 et 3 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Bézout, 11 divise -y+3

On a donc : y=-4+15k et x=3-11k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(-4+15k ;3-11k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-4-15k ;3-11k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-4+15k ;3+11k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(-4+15k ;-3-11k\right),k\in\mathbb{Z}