Représenter l'espace
Représentation en perspective cavalière
Représenter en perspective cavalière
Représenter un solide en perspective cavalière signifie représenter à plat un objet de l'espace en respectant les règles suivantes :
- Des arêtes parallèles dans la réalité le sont sur la représentation.
- Les arêtes dessinées dans un plan de face sont dessinées en vraie grandeur.
- Sur chaque arête représentée, les proportions sont respectées.
- Les arêtes cachées dans la réalité sont dessinées en pointillés.
Voici une représentation en perspective cavalière d'un pavé droit :
Les propriétés d'une représentation en perspective cavalière sont les caractéristiques définissant cette représentation, c'est-à-dire :
- Des arêtes parallèles dans la réalité le sont sur la représentation.
- Les arêtes dessinées dans un plan de face sont dessinées en vraie grandeur.
- Sur chaque arête représentée, les proportions sont respectées.
- Les arêtes cachées dans la réalité sont dessinées en pointillés.
Le prisme ci-dessous est un prisme droit dont les bases sont des hexagones réguliers.
- Dans la réalité, les arêtes [HI] et [GF] sont parallèles. Elles le sont également sur la représentation.
- Les arêtes de la face IBB'N sont dans un plan de face. Elles sont donc dessinées en vraie grandeur. Le rectangle IBB'N est lui-même dessiné en vraie grandeur.
- L'arête [GF] étant cachée dans la réalité si le solide est opaque, on la représente donc en pointillés.
- Le point P est situé au quart du segment [HF] en partant de H. Ce sera également le cas dans la représentation.
- Le point O est situé au milieu du segment [HF]. Ce sera également le cas dans la représentation.
Des droites sécantes dans la réalité le seront également sur une représentation en perspective cavalière.
Mais deux droites sécantes sur une représentation en perspective cavalière ne le sont pas forcément dans la réalité.
Le solide ABCDEFGH est un pavé droit.
Les droites (CH) et (AF) semblent sécantes sur la représentation en perspective cavalière.
Mais elles ne le sont en fait pas dans la réalité.
En effet, la droite (CH) est incluse dans la face de devant, alors que la droite (AF) est incluse dans la face du fond.
Comme ces deux faces n'ont aucun point commun, même en les prolongeant, les droites ne peuvent pas se croiser en réalité.
Sections planes de solides
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle superposable avec le contour de la face.
La section d'un pavé droit par un plan perpendiculaire à une face est un rectangle.
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à une base est un cercle superposable avec le contour de la base.
La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à une base est un rectangle dont une des dimensions est la hauteur du cylindre.
La section d'une pyramide de hauteur H par un plan parallèle à la base passant à une distance h du sommet est un polygone réduction du contour de la base.
Le coefficient de réduction est le rapport \dfrac{h}{H}.
La pyramide SABCD est une pyramide de base carrée ABCD de côté 10 cm.
La hauteur de cette pyramide est SO=12 \text{ cm}.
On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base et passant par le point K tel que SK=6 \text{ cm}.
La section obtenue est le carré EFGH réduction du carré ABCD de rapport \dfrac{SK}{SO}, soit \dfrac{6}{12}, c'est-à-dire \dfrac{1}{2}.
Ainsi la section est un carré de côté 10\times \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}.
La section d'un cône de révolution de hauteur H par un plan parallèle à la base passant à une distance h du sommet est un cercle réduction du cercle de base.
Le coefficient de réduction est le rapport \dfrac{h}{H}.
Le cône ci-dessous est un cône de révolution dont la base est un disque de centre A et de rayon 3 cm.
La hauteur de ce cône est AB=6 \text{ cm}.
On coupe ce cône par un plan parallèle à la base et passant par le point H de la hauteur ou appartement à AB tel que BH=2 \text{ cm}.
La section obtenue est le cercle réduction du cercle de base de rapport \dfrac{BH}{BA}, soit \dfrac{2}{6}, c'est-à-dire \dfrac{1}{3}.
Ainsi la section est un cercle de rayon 3\times \frac{1}{3} = 1 \text{ cm}.
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle identique au cercle de base.
La section du cylindre de révolution ci-dessous par le plan parallèle à la base et passant à mi-hauteur du cylindre est un cercle identique au cercle de base.
La sphère et la boule
Vocabulaire, aire et volume
La sphère
On considère un point A de l'espace et un nombre R strictement positif.
La sphère de centre A et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace à une distance égale à R du point A.
Pour représenter en perspective cavalière une sphère, on trace un cercle.
On représente ensuite un des grands cercles de la sphère (sous forme elliptique) en faisant attention à tracer la partie cachée en pointillés.
On considère un nombre R strictement positif.
L'aire d'une sphère de rayon R est donnée par :
\mathcal{A}=4\pi R^2
On considère une sphère de rayon 5 cm.
Son aire est donc, en \text{cm}^2, égale à :
\mathcal{A}=4\pi\times 5^2
\mathcal{A}=100\pi
Soit :
\mathcal{A}\approx 314\text{ cm}^2
La boule
On considère un point A de l'espace et un nombre R strictement positif.
La boule de centre A et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace à une distance inférieure ou égale à R du point A.
On considère la boule ci-dessous de centre A et de rayon 5 cm.
Les points B, C, D, E, F et G appartiennent à la sphère de centre A et de rayon 5 cm.
Ils appartiennent donc également à la boule de centre A et de rayon 5 cm.
Le point H est le milieu du segment [AF] et le point I est le milieu du segment [AD].
Ces points n'appartiennent donc pas à la sphère de centre A et de rayon 5 cm.
En revanche, ils appartiennent bien à la boule de centre A et de rayon 5 cm.
La sphère de centre A et de rayon R est l'enveloppe de la boule de centre A et de rayon R.
Pour représenter en perspective cavalière une boule, on trace un cercle.
On représente ensuite un des grands cercles de la boule (sous forme elliptique) en faisant attention à tracer la partie cachée en pointillés.
On considère un nombre R strictement positif.
Le volume d'une boule de rayon R est donné par :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3
On considère une boule de rayon 5 cm.
Son volume est donc, en \text{cm}^3, égal à :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi\times 5^3
\mathcal{V}=\dfrac{500\pi}{3}
Soit :
\mathcal{V}\approx 524\text{ cm}^3
Les sections planes
Un grand cercle
Sur une sphère, un grand cercle est un cercle qui a le même centre que la sphère.
Il a donc aussi le même rayon.
Les sections planes d'une sphère sont des cercles réduction des grands cercles de la sphère.
Les sections planes d'une boule sont des disques réduction des grands disques de la boule.
Se repérer sur la sphère terrestre
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
On représente le pôle Nord et le pôle Sud par deux points N et S diamétralement opposés.
Méridiens et parallèles
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
On représente le pôle Nord et le pôle Sud par deux points N et S diamétralement opposés.
La section de la sphère par un plan perpendiculaire à (NS) est un cercle appelé un parallèle.
Un méridien est un demi‑cercle de diamètre [NS].
L'équateur
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
On représente le pôle Nord et le pôle Sud par deux points N et S diamétralement opposés.
Le parallèle obtenu par la section de la sphère par le plan perpendiculaire à [NS] et passant par le centre de la sphère est appelé équateur.
Le méridien de Greenwich
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
On représente le pôle Nord et le pôle Sud par deux points N et S diamétralement opposés.
Le méridien passant par la ville de Greenwich (au Royaume-Uni) est appelé méridien de Greenwich.
Il sert de référence pour se repérer sur Terre.
Latitude et longitude
Dans le cas où la Terre est assimilée à une sphère, on peut repérer un point M de sa surface par deux coordonnées géographiques correspondant à des mesures d'angles : sa latitude et sa longitude.
La latitude du point M est la mesure de l'angle, ayant pour sommet le centre de la sphère, compris entre l'équateur et le parallèle sur lequel se trouve le point M.
On précise par nord ou sud, l'hémisphère auquel le point appartient.
La longitude du point M est la mesure de l'angle, ayant pour sommet le centre de la sphère, compris entre le méridien de Greenwich et le méridien sur lequel se trouve le point M.
On précise par est ou est, si le point se trouve à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
La ville de Washington D.C., capitale des États-Unis, a pour coordonnées, sur la sphère terrestre : (39° de latitude Nord ; 77° de longitude ouest).
Les calculs sur la sphère
En utilisant les propriétés de géométrie plane, on peut, par exemple, calculer le rayon d'un parallèle.
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
La ville d'Ankara en Turquie est située sur le parallèle 40° nord.
On cherche à calculer le rayon de ce parallèle.
On note :
- A le point de la sphère terrestre correspondant à Ankara ;
- O le centre de la Terre ;
- C le centre du parallèle passant par le point A ;
- J le point de l'équateur de même longitude que le point A.
Les droites (CA) et (OJ) sont parallèles.
Les angles \widehat{AOJ} et \widehat{OAC} sont alternes-internes.
On a donc :
\widehat{OAC}=\widehat{AOJ}=40°
Dans le triangle OAC rectangle en C, on a :
\cos\left(\widehat{OAC}\right)=\dfrac{AC}{OA}
\cos\left(40°\right)=\dfrac{AC}{6\,371}
AC=6\,371\times\cos\left(40°\right)
AC\approx 4\,880
Le rayon du parallèle 40° nord est d'environ 4 880 km.
En utilisant les propriétés de géométrie plane, on peut, par exemple, calculer la circonférence d'un parallèle.
On considère que la surface de la Terre est une sphère de rayon égal à environ 6 371 km.
La ville d'Ankara en Turquie est située sur le parallèle 40° nord.
On cherche à calculer la circonférence de ce parallèle.
D'après l'exemple précédent, le rayon de ce parallèle est d'environ 4 880 km.
Sa circonférence est donc environ égale à 2\pi\times 4\,880, soit 30\,662 \text{ km}.
Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer
Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC^2=AB^2+AC^2.
Le triangle CDE est rectangle en C.
De plus, on sait que EC=5 \text{ cm} et ED=8 \text{ cm}.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
ED^2=CE^2+CD^2
8^2=5^2+CD^2
64=25+CD^2
CD^2=64-25
CD^2=39
CD=\sqrt{39}
CD\approx 6{,}2 \text{ cm}
Réciproque du théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est tel que BC^2=AB^2+AC^2, alors le triangle ABC est rectangle en A.
On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB=4 \text{ cm}, AC=3 \text{ cm} et BC=5 \text{ cm}.
Le plus grand côté est [BC] et BC^2=5^2=25.
D'autre part, AC^2+AB^2=3^2+4^2=9+16=25.
Ainsi, BC^2=AC^2+AB^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Si on connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle, le théorème de Pythagore permet également montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB=3{,}54 \text{ cm}, AC=2{,}55 \text{ cm} et BC=5 \text{ cm}.
Le plus grand côté est [BC] et BC^2=5^2=25.
D'autre part, AC^2+AB^2=3{,}54^2+2{,}55^2=19{,}0341.
Ainsi, BC^2\neq AC^2+AB^2.
Si le triangle ABC était rectangle, il le serait en A et on aurait d'après le théorème de Pythagore :
BC^2=AC^2+AB^2
Comme ce n'est pas le cas, le triangle ABC n'est pas rectangle.
Le théorème de Thalès et les triangles semblables
Théorème de Thalès
On considère deux droites (CE) et (BD) sécantes en A.
Si les droites (BC) et (DE) sont parallèles, alors :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}
Voici deux configurations possibles :
On considère la configuration ci-dessous telle que :
- (ED) et (BC) sont parallèles ;
- AD=2{,}16 \text{ cm}, AB=4{,}72 \text{ cm} et ED=1{,}17 \text{ cm} ;
- les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A ;
- les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}
En particulier, \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}.
On en déduit :
\dfrac{2{,}16}{4{,}72}=\dfrac{1{,}17}{BC}
BC=\dfrac{1{,}17\times 4{,}72}{2{,}16}
BC\approx 2{,}56 \text{ cm}
Réciproque du théorème de Thalès
On considère deux droites (CE) et (BD) sécantes en A telles que les points A, D, B sont alignés dans le même ordre que les points A, E, C.
Si deux des trois quotients \dfrac{AD}{AB}, \dfrac{AE}{AC} et \dfrac{DE}{BC} sont égaux, alors les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
On considère deux droites (CE) et (BD) sécantes en A telles que :
AD=2 \text{ cm}, AE=3 \text{ cm}, AC=6 \text{ cm} et AB=4 \text{ cm}
On a :
- Les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A.
- Les points A, D, B sont alignés dans le même ordre que les points A, E, C.
- \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
- \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
Ainsi, \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Le théorème de Thalès peut également servir à montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
On considère deux droites (CE) et (BD) sécantes en A telles que :
AD=2 \text{ cm}, AE=3{,}2 \text{ cm}, AC=6 \text{ cm} et AB=4 \text{ cm}
On a :
- Les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A.
- Les points A, D, B sont alignés dans le même ordre que les points A, E, C.
- \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{12}
- \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3{,}2}{6}=\dfrac{6{,}4}{12}
Ainsi, \dfrac{AD}{AB}\neq \dfrac{AE}{AC}.
Si les droites (BC) et (DE) étaient parallèles, on aurait, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}
Comme ce n'est pas le cas, les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles.
Triangles semblables
On dit que deux triangles sont semblables si les mesures de leurs angles sont égales 2 à 2.
On a :
- \widehat{BAC}=\widehat{EDF}
- \widehat{BCA}=\widehat{FED}
- \widehat{ABC}=\widehat{EFD}
Ainsi, les triangles ABC et DEF sont semblables.
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Réciproquement, si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors les triangles sont semblables.
On considère les triangles ABC et DEF suivants :
\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{5{,}4}{4{,}5}=1{,}2
\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{4{,}8}{4}=1{,}2
\dfrac{EF}{AC}=\dfrac{3{,}6}{3}=1{,}2
Les longueurs des côtés des deux triangles ABC et DEF sont proportionnelles.
Les triangles ABC et DEF sont donc semblables.
Deux triangles en configuration permettant d'utiliser le théorème de Thalès sont des triangles semblables.
On considère la configuration ci-dessous dans laquelle les droites (ED) et (BC) sont parallèles.
On a :
- Les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A.
- Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}
Les triangles ADE et ABC ont des longueurs proportionnelles. Ils sont donc semblables.
La trigonométrie dans un triangle rectangle
Sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
Dans un triangle ABC rectangle en A, on appelle cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu les quotients suivants, notés cos, sin et tan :
\cos(\text{Angle})=\dfrac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}
\sin(\text{Angle})=\dfrac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}
\tan(\text{Angle})=\dfrac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}
On considère le triangle ABC suivant rectangle en A.
L'angle \widehat{ABC} est un angle aigu.
Pour cet angle, le côté [AB] est le côté adjacent et le côté [AC] est le côté opposé.
De plus le côté [BC] est l'hypoténuse du triangle.
On a donc :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{4}{5}
\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}=\dfrac{3}{5}
\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}=\dfrac{3}{4}
Ces trois formules sont souvent regroupées en un moyen mnémotechnique comme « SOHCAHTOA », prononcé « socatoa ».
Ces formules, faisant le lien entre des longueurs et le sinus, le cosinus ou la tangente d'un des angles aigus d'un triangle rectangle, permettent de déterminer des longueurs ou des mesures d'angles.
On considère le triangle ABC suivant rectangle en A.
On a :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}
En utilisant la touche « \text{cos}^{-1} » ou « Acos », on en déduit :
\widehat{ABC}\approx 36{,}9°
Si on arrondi au degré, \widehat{ABC}=37°
On considère le triangle ABC suivant rectangle en A.
On a :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}
On en déduit :
\cos\left(45°\right)=\dfrac{AB}{5}
AB=5\times \cos\left(45°\right)
AB\approx 3{,}5 \text{ cm}
Les effets d'une transformation du plan sur une figure plane
L'image d'une figure plane par une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation ou une rotation est une figure superposable à la première.
Les deux figures ont donc les mêmes dimensions, les mêmes mesures d'angles, les mêmes aires.
Le quadrilatère A'B'C'D' est l'image du quadrilatère ABCD par la rotation de centre O et d'angle 60° dans le sens horaire.
On en déduit :
- A'B'=AB
- B'C'=BC
- C'D'=CD
- D'A'=DA
- \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}
- \widehat{B'C'D'}=\widehat{BCD}
- \widehat{C'D'A'}=\widehat{CDA}
- \widehat{D'A'B'}=\widehat{DAB}
- \mathcal{A}_{A'B'C'D'}=\mathcal{A}_{ABCD}
L'image d'une figure plane par une homothétie de rapport k>0 est un agrandissement (ou une réduction) de la figure initiale.
- Si 0<k<1, c'est une réduction.
- Si k>1, c'est un agrandissement.
Les deux figures ont les mêmes mesures d'angles.
L'aire de la figure image est le produit de l'aire de la figure initiale par k^2.
Le quadrilatère A'B'C'D' est l'image du quadrilatère ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5.
On en déduit :
- A'B'=0{,}5\times AB
- B'C'=0{,}5\times BC
- C'D'=0{,}5\times CD
- D'A'=0{,}5\times DA
- \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}
- \widehat{B'C'D'}=\widehat{BCD}
- \widehat{C'D'A'}=\widehat{CDA}
- \widehat{D'A'B'}=\widehat{DAB}
- \mathcal{A}_{A'B'C'D'}=0{,}5^2\times \mathcal{A}_{ABCD}=0{,}25\times \mathcal{A}_{ABCD}