Trois élèves construisent chacun en vraie grandeur une même figure puis la découpent.
Ils obtiennent ainsi, à eux trois, trois pièces identiques, comme ci-après.
Le schéma suivant représente la pièce construite par chaque élève avec les indications suivantes :
- Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires.
- Les points A, C et B sont alignés.
- L'arc de cercle qui relie le point A au point B a pour centre le point G.
- AC = CB.
- CG = 10 \text{ cm} et BG = 20 \text{ cm}.
Combien mesure la longueur BC, arrondie au dixième de centimètre ?
On sait que les points A, C et B sont alignés.
Donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (CG).
Autrement dit, le triangle BCG est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
BG^2=BC^2+CG^2
On sait que CG = 10 \text{ cm} et que BG = 20 \text{ cm}.
On en déduit :
20^2=BC^2+10^2
Par conséquent :
BC^2=20^2-10^2=400-100=300
Et finalement :
BC=\sqrt{300}\approx17{,}3 \text{ cm}
La longueur BC, arrondie au dixième, mesure 17,3 cm.
Quelle est l'aire du triangle BAG, en cm², arrondie à l'unité ?
On sait que :
- Les points A, C et B sont alignés.
- AC = CB \approx 17{,}3 \text{ cm}
On en déduit que AB = AC + CB \approx17{,}3+17{,}3 .
Ainsi, AB mesure environ 34,6 cm.
Par ailleurs, on sait que CG = 10 \text{ cm}.
Finalement, dans le triangle BAG, on connaît :
- La longueur d'une base, à savoir AB\approx34{,}6 \text{ cm}.
- La longueur de la hauteur associée, à savoir CG = 10 \text{ cm}.
On peut donc calculer l'aire du triangle BAG. Cette dernière est environ égale, en cm², à :
\dfrac{34{,}6\times10}{2}=173
L'aire du triangle BAG est environ de 173 cm², arrondie à l'unité.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{CGB} ?
On sait que le triangle BGC est rectangle en C.
On connaît :
- CG = 10 \text{ cm}, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{CGB}.
- BG = 20\text{ cm}, la longueur de l'hypoténuse.
On peut donc calculer le cosinus de l'angle \widehat{CGB} :
\text{cos}\left( \widehat{BGC} \right)=\dfrac{CG}{BG}
On obtient :
\text{cos}\left( \widehat{BGC} \right)=\dfrac{10}{20}=0{,}5
Et en utilisant la touche « arccos » de la calculatrice, on obtient finalement :
\widehat{BGC}=60°
La mesure de l'angle \widehat{BGC} est égale à 60°.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{AGB} ?
On sait que dans les triangles ACG et CGB, on a :
- un côté commun : [CG] ;
- deux côtés de même longueur : [AC] et [CB] ;
- les deux angles formés par les côtés précédents de même mesure : \widehat{ACG}=\widehat{GCB}.
On en déduit que les triangle ACG et CGB sont égaux.
Par conséquent : \widehat{AGC}=\widehat{CGB}=60°.
De plus, les angles \widehat{AGC} et \widehat{CGB} sont adjacents.
On en déduit que :
\widehat{AGB}=\widehat{AGC}+\widehat{CGB}
On obtient :
\widehat{AGB}=60°+60°=120°
La mesure de l'angle \widehat{AGB} est égale à 120°.
Les trois élèves pensent qu'ils peuvent former un disque complet avec leurs 3 pièces.
Ont-ils raison ?
Un disque complet correspond à un angle au centre de 360˚.
Or, sur chaque pièce, l'angle au centre mesure 120°.
De plus, les côtés de ces angles sont de même longueur sur les trois pièces.
Par conséquent, en assemblant ces trois pièces, on obtient donc un angle au centre qui mesure :
3 \times 120° = 360°
Finalement, on obtient donc un disque complet.
Oui, les trois élèves ont raison : ils peuvent former un disque complet avec leurs 3 pièces.
Quelle est l'aire de la pièce obtenue par chacun des élèves, arrondie à l'unité ?
En assemblant les trois pièces, on obtient donc un disque, de centre G et de rayon R = 20 \text{ cm}.
L'aire de ce disque est égale à :
\pi\times{R^2}
On obtient, en cm² :
\pi\times{20^2}=\pi\times400
Or, ce disque est l'assemblage de trois pièces identiques qui ont toutes la même aire.
Une pièce a donc une aire égale au tiers de l'aire du disque, à savoir environ :
\pi\times400\approx\dfrac{1\ 257}{3}
On obtient finalement environ 419 cm², arrondi à l'unité.
L'aire de la pièce obtenue par chacun des élèves, arrondie à l'unité, est égale à 419 cm².