Sur la figure ci-après :
- les points E, A et F sont alignés ;
- les points E, B et D sont alignés ;
- les droites (FD) et (AB) sont parallèles ;
- AE = 4{,}4 \text{ cm} ;
- EB = 3{,}3 \text{ cm} ;
- AB = 5{,}5 \text{ cm} ;
- BD = 6{,}6 \text{ cm}.
Le triangle ABE est-il rectangle ?
Dans le triangle ABE, le côté le plus long est [AB].
On a, d'une part :
AB^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25
On a, d'autre part :
AE^2 +EB^2 = 4{,}4^2 +3{,}3^2 = 19{,}36+10{,}89 = 30{,}25.
On constate que AB^2 = AE^2 +EB^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle AEB est rectangle en E.
Oui, le triangle ABE est rectangle.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{ABE}, arrondie au degré ?
Dans le triangle AEB, rectangle en E, on connaît :
- EB = 3{,}3 \text{ cm}, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{ABE} ;
- AB = 5{,}5 \text{ cm}, la longueur de l'hypoténuse.
On peut calculer le cosinus de l'angle \widehat{ABE} :
\text{cos}\left( \widehat{ABE} \right)=\dfrac{BE}{BA}
On obtient :
\text{cos}\left( \widehat{ABE} \right)=\dfrac{3{,}3}{5{,}5}
En utilisant la touche « arccos » de la calculatrice, et en arrondissant au degré, on obtient 53°.
La mesure de l'angle \widehat{ABE}, arrondie au degré, est de 53°.
Combien mesure la longueur FD ?
On sait que :
- Les points E, A et F sont alignés.
- Les points E, B et D sont alignés.
- Les droites (FD) et (AB) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{EA}{EF}=\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{AB}{FD}.
En particulier :
\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{AB}{FD}
On sait que EB = 3{,}3 \text{ cm} et que AB = 5{,}5 \text{ cm}.
Par ailleurs, comme le point B appartient au segment [ED], on a :
ED = EB + BD = 3{,}3 + 6{,}6 = 9{,}9 \text{ cm}
On en déduit que :
\dfrac{3{,}3}{9{,}9}=\dfrac{5{,}5}{FD}
On effectue un produit en croix :
FD=\dfrac{9{,}9\times5{,}5}{3{,}3}
On obtient finalement :
ED = 16{,}5 \text{ cm}
La longueur FD mesure 16,5 cm.
Une homothétie de centre E transforme le triangle EAB en le triangle EFD.
Quel est le rapport de cette homothétie ?
Une homothétie de centre E transformant le triangle EAB en le triangle EFD transforme notamment le segment [EB] en [ED].
Comme les points E, B et D sont alignés dans cet ordre, le rapport de l'homothétie est positif.
Le rapport de l'homothétie vaut :
\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{9{,}9}{3{,}3}=3
Le rapport de cette homothétie est donc 3.
Le rapport de cette homothétie est 3.