Les trois parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Une famille souhaite installer dans son jardin une cabane.
La partie inférieure de cette cabane est modélisée par le rectangle BCDF :
On précise que :
- AB = 1{,}3 \text{ m} ;
- DE = 2{,}04 \text{ m} ;
- AC = 0{,}5 \text{ m} ;
- BC = DF = 1{,}2 \text{ m} ;
- Les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles.
Partie A : Étude du toboggan
Pour que le toboggan soit sécurisé, il faut que l'angle \widehat{DEF} mesure 30°, au degré près.
Le toboggan de cette cabane est-il sécurisé ?
Le triangle EDF est rectangle en D.
On connaît :
- DF = 1{,}2 \text{ m}, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{DEF}.
- DE = 2{,}04 \text{ m}, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{DEF}.
On peut utiliser la tangente pour calculer la mesure de l'angle \widehat{DEF}.
\text{tan}\left( \widehat{DEF} \right)=\dfrac{DF}{DE}
On obtient :
\text{tan}\left( \widehat{DEF} \right)=\dfrac{1{,}2}{2{,}04}
En utilisant la touche « arctan » de la calculatrice et en arrondissant à l'unité, on obtient :
\widehat{DEF}\approx30°
L'angle \widehat{DEF} respecte bien la condition demandée.
Oui, le toboggan de cette cabane est sécurisé.
Combien mesure la rampe du toboggan, EF ?
Le triangle EDF est rectangle en D.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
EF^2=ED^2+DF^2
On sait que DF = 1{,}2 \text{ m} et que ED = 2{,}04 \text{ m}.
Par conséquent, on obtient :
EF^2=2{,}04^2+1{,}2^2=4{,}1616+1{,}44=5{,}6016
Et finalement :
EF=\sqrt{5{,}6016}
En arrondissant au centième de mètre, on a :
EF\approx2{,}37 \text{ m}
La rampe du toboggan, EF, mesure environ 2,37 m.
Partie B : Étude de l'échelle
Pour consolider l'échelle, on souhaite ajouter une poutre supplémentaire [MN], comme indiqué sur le modèle.
Les droites (AC) et (MN) sont-elles parallèles ?
On sait que :
- Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires.
- Les droites (MN) et (BC) sont perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On en déduit que les droites (AC) et (MN) sont parallèles.
Oui, les droites (AC) et (MN) sont parallèles.
On positionne cette poutre [MN] telle que BN = 0{,}84 \text{ m}.
Quelle est la longueur MN ?
On sait que :
- Les points B, M et A sont alignés.
- Les points B, N et C sont alignés.
- Les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}
En particulier :
\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}
Or, on sait que BN = 0{,}84 \text{ m}, que BC = 1{,}2 \text{ m} et que AC = 0{,}5 \text{ m}.
On en déduit que :
\dfrac{0{,}84}{1{,}2}=\dfrac{MN}{0{,}5}
On effectue un produit en croix. On obtient :
MN=\dfrac{0{,}84\times0{,}5}{1{,}2}
Finalement, on obtient :
MN = 0{,}35 \text{ m}
La longueur MN est de 0,35 m.
Partie C : Étude du bac à sable
Un bac à sable est installé sous la cabane.
Il s'agit d'un pavé droit dont les dimensions sont :
- Longueur : 200 cm
- Largeur : 180 cm
- Hauteur : 20 cm
Quel est le volume du bac à sable ?
On sait que le bac à sable est représenté par un pavé droit de dimensions :
- Longueur : 200 cm
- Largeur : 180 cm
- Hauteur : 20 cm
Le volume du pavé droit se calcule ainsi :
L\times{l}\times{h}
On obtient ici, en cm³ :
200\times180\times20=720\ 000
Le volume du bac à sable est de 720 000 cm³.
On admet que le volume du bac à sable est de 0,72 m³ .
On remplit entièrement ce bac avec un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 : 2.
Quel sont les volumes nécessaires de sable à maçonner et de sable fin ?
Le mélange de sable à maçonner et de sable fin est dans le ratio 3 : 2.
Or : 3 + 2 = 5.
Par conséquent :
- La proportion de sable à maçonner est égale à \dfrac{3}{5}.
-
La proportion de sable fin est égale à \dfrac{2}{5}.
On sait que le volume total du mélange est de 0,72 m³.
On en déduit que :
- Le volume de sable à maçonner, en m³, est égal à \dfrac{3}{5}\times0{,}72.
- Le volume de sable fin, en m³, est égal à \dfrac{2}{5}\times0{,}72.
On obtient finalement que :
- Le volume de sable à maçonner est égal à 0,432 m³.
- Le volume de sable fin est égal à 0,288 m³.
Le volume de sable à maçonner est de 0,432 m³ et celui de sable fin est de 0,288 m³.
Un magasin propose à l'achat le sable à maçonner et le sable fin, vendus en sacs.
D'après les indications ci-dessous, quel est le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable sachant qu'on ne peut acheter que des sacs entiers ?
On sait que :
- Le volume de sable à maçonner nécessaire est de 0,432 m³.
- Le volume de sable fin nécessaire est de 0,288 m³.
On calcule le nombre de sacs de sable à maçonner dont on aura besoin.
On sait qu'un sac de sable à maçonner a un volume de 0,022 m³.
On calcule :
\dfrac{0{,}432}{0{,}022}
On obtient environ 19,6.
On en conclut qu'on aura besoin de 20 sacs de sable à maçonner.
On calcule maintenant le nombre de sacs de sable fin dont on aura besoin.
On sait qu'un sac de sable fin a un volume de 0,016 m³.
On calcule :
\dfrac{0{,}288}{0{,}016}
On obtient 18.
On en conclut qu'on aura besoin de 18 sacs de sable fin.
On peut enfin calculer le coût total.
On sait qu'un sac de sable à maçonner coûte 2,95 € et qu'un sac de sable fin coûte 5,95 €.
Sachant qu'on doit acheter 20 sacs de sable à maçonner et 18 sacs de sable fin, le coût total est de :
20 \times 2{,}95 \text{ €} + 18 \times 5{,}95 \text{ €}
On obtient :
59 \text{ €} + 107{,}10 \text{ €}
Cela donne finalement 166,10 €.
En conclusion, le coût total sera de 166,10 €.
Sachant qu'on ne peut acheter que des sacs entiers, le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable est de 166,10 €.