Un centre de loisirs dispose d'un bâtiment et d'un espace extérieur pour accueillir des enfants.
L'espace extérieur, modélisé par un triangle, est partagé en deux parties :
- un potager (quadrilatère DEFG hachuré) ;
- une zone de jeux (triangle EFC), comme représenté par la figure suivante.
Données :
- Les points C, E et D sont alignés.
- Les points C, F et G sont alignés.
- Les droites (EF) et (DG) sont parallèles.
- Les droites (DG) et (CD) sont perpendiculaires.
- CE = 30 \text{ m} ; ED= 10 \text{ m} et DG = 24 \text{ m}.
Combien mesure la longueur CD ?
Le point E appartient au segment [CD].
Par conséquent, on a :
CD = CE + ED
Or, on sait que CE = 10 \text{ m} et que DE = 30 \text{ m}.
On en déduit donc :
CD = 10 + 30 = 40 \text{ m}
La longueur CD mesure 40 m.
Combien mesure la longueur CG, arrondie au dixième de mètre près ?
Le triangle DCG est un triangle rectangle en D.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
CG^2 = CD^2 + DG^2
Or, on sait que CD = 40 \text{ m} et que DG = 24 \text{ m}.
On obtient donc :
CG^2 = 40^2 + 24^2
Puis :
CG^2 = 1\ 600+576
Et enfin :
CG^2=2\ 176
Finalement :
CG=\sqrt{2\ 176}
En arrondissant au dixième de mètre près, cela donne :
CG\approx46{,}6 \text{ m}
La longueur CG, arrondie au dixième de mètre près, mesure 46,6 m.
L'équipe veut séparer la zone de jeux et le potager par une clôture représentée par le segment [EF].
Combien doit mesurer la clôture ?
On calcule la longueur EF.
On sait que :
- Les points C, E et D sont alignés.
- Les points C, F et G sont alignés.
- Les droites (EF) et (DG) sont parallèles.
Donc, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CF}{CG}=\dfrac{EF}{DG}
En particulier :
\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{EF}{DG}
Or, on sait que CE = 30 \text{ m}, que CD = 40 \text{ m} et DG = 24 \text{ m}.
On en déduit :
\dfrac{30}{40}=\dfrac{EF}{24}
On effectue un produit en croix et on obtient finalement :
EF=\dfrac{30\times24}{40}=18
La clôture doit mesurer 18 m.
Pour semer du gazon sur la zone de jeux, l'équipe décide d'acheter des sacs de 5 kg de graines à 22,90 € l'unité.
Chaque sac permet de couvrir une surface d'environ 140 m².
Quel budget doit-on prévoir pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux ?
Calculons l'aire du triangle CEF.
On sait que :
- Les droites (EF) et (DG) sont parallèles.
- Les droites (CD) et (DG) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
On en déduit que les droites (EF) et (CD) sont perpendiculaires.
Autrement dit, le triangle CEF est rectangle en E.
On calcule son aire ainsi :
\dfrac{{\text{Base}}\times{\text{Hauteur}}}{2}
On obtient :
\dfrac{CE\times{EF}}{2}
Et finalement :
\dfrac{30\times18}{2}=270\text{ m}^2
Ainsi, l'aire du triangle CEF mesure 270 m².
Or, on sait qu'un sac permet de recouvrir une surface d'environ 140 m².
Comme 2 \times 140 = 280, on en déduit qu'il faudra 2 sacs pour semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux.
Par ailleurs, on sait qu'un sac coûte 22,90 €.
On en déduit que 2 sacs coûteront, en euros :
2 \times 22{,}90 = 45{,}80
Le budget que l'on doit prévoir pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux est de 45,80 €.
La direction du centre affirme que la surface du potager est plus grande que celle de la zone de jeux.
A-t-elle raison ?
Calculons la mesure de la surface du potager.
Cela revient à calculer l'aire du trapèze EFGD.
Pour cela, on va calculer l'aire du triangle CDG.
Le triangle CDG est rectangle en D.
On calcule son aire ainsi :
\dfrac{{\text{Base}}\times{\text{Hauteur}}}{2}
On obtient :
\dfrac{CD\times{DG}}{2}
Et finalement :
\dfrac{40\times24}{2}=480\text{ m}^2
Ainsi, l'aire du triangle CDG mesure 480 m².
Par ailleurs, on sait que l'aire du triangle CEF mesure 270 m².
Par conséquent, l'aire du trapèze EFGD mesure :
480 - 270 = 210 \text{ m}^2
Ainsi, l'aire du potager mesure 210 m².
Or, 210 est inférieur à 270.
On en conclut que la surface du potager est plus petite que la surface de l'aire de jeux.
Non, la directrice du centre a tort.