Sur la figure suivante :
- BCDE est un rectangle ;
- BAE est un triangle rectangle en A ;
- la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H ;
- les droites (AE) et (CD) se coupent en F.
On donne :
- AB = BC = 4{,}2 \text{ cm} ;
- EB = EF = 7 \text{ cm}.
Combien mesure l'aire du rectangle BCDE ?
On sait que :
- BC = 4{,}2 \text{ cm}
- EB = 7 \text{ cm}
On en déduit que l'aire du rectangle BCDE mesure, en cm² :
4{,}2 \times 7 = 29{,}4
L'aire du rectangle BCDE mesure 29,4 cm².
Combien mesure la longueur AE ?
On sait que le triangle ABE est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
EB^2=BA^2+AE^2
On sait également que AB = 4{,}2 \text{ cm} et que EB = 7 \text{ cm}.
On en déduit :
7^2=4{,}2^2+AE^2
Puis :
AE^2=7^24-2^2=49-17{,}64=31{,}36
Et finalement, on obtient :
AE=\sqrt{31{,}36}=5{,}6\text{ cm}
La longueur AE mesure 5,6 cm.
Combien mesure l'aire du triangle ABE ?
Le triangle ABE est rectangle en A.
Son aire se calcule ainsi :
\dfrac{{AB}\times{AE}}{2}
Sachant que AB = 4{,}2 \text{ cm} et que AE = 5{,}6 \text{ cm}, on obtient alors :
\dfrac{{4{,}2}\times{5{,}6}}{2}
Et finalement on obtient :
11,76 cm²
L'aire du triangle ABE mesure 11,76 cm².
Les droites (ED) et (HA) sont-elles parallèles ?
On sait que :
- les droites (AH) et (FH) sont perpendiculaires ;
- les droites (ED) et (FH) sont perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On en déduit que les droites (ED) et (AH) sont parallèles.
Oui, les droites (ED) et (AH) sont parallèles.
Combien mesure la longueur AH ?
On sait que :
- Les points F, E et A sont alignés.
- Les points F, D et H sont alignés.
- Les droites (ED) et (AH) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{FD}{FH}=\dfrac{ED}{AH}
En particulier :
\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{ED}{AH}
Or, on sait que FE = 7 \text{ cm}.
Par ailleurs, on sait que le point E appartient au segment [FA].
Donc FA = FE + EA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6 \text{ cm}.
De plus, on sait que BCDE est un rectangle.
Donc ses côtés opposés sont de même longueur.
En particulier :
ED = BC = 4{,}2 \text{ cm}
Par conséquent, on obtient :
\dfrac{7}{12{,}6}=\dfrac{4{,}2}{AH}
En effectuant un produit en croix, on obtient finalement :
AH=\dfrac{4{,}2\times12{,}6}{7}
On obtient AH = 7{,}56 \text{ cm}.
La longueur AH mesure 7,56 cm.